Euclidean & Minkowskian Space - 02

 

3D-Ευκλείδειος
&
4D-Χωρόχρονος
(Μέρος 2ο)

Η εντυπωσιακή εικόνα που βλέπετε

είναι ίσως η πιο σύγχρονη "οπτική" αναπαράσταση

που υπάρχει σήμερα (τέλη του 2020)

για το πως περίπου μπορεί να "δει" ένας Άνθρωπος
τον Χωροχρόνο Minkowski.

(Προφανώς είναι ατελής

αλλά δεν έχουμε καλύτερη προσέγγιση)

Όπως, πολλές φορές αναφέραμε,

λόγω της τρισδιάστατης κατασκευής μας,

δεν θα μπορέσουμε ποτέ

να τον αναπαραστήσουμε, ρεαλιστικά.

Όμως,

καθώς η μαθηματική του επεξεργασία

αυξάνει καθημερινά

και καθώς η Πληροφορική εξελίσσεται αλματωδώς

όλο και καλύτερες "οπτικές" αναπαραστάσεις

θα παράγονται μελλοντικά.

Οι απόψεις του κάθε ανθρώπου
για το τι είναι ο Χρόνος
ποικίλουν εντυπωσιακά

Για την Φυσική, όμως,
δεν έχει σημασία
τι άποψη έχει ο οποιοσδήποτε άνθρωπος
σημαντικός ή ασήμαντος
είτε είναι Νεύτων, είτε είναι Einstein,
είτε είναι Marx, είτε είναι Jung.

Αυτό που έχει σημασία
είναι ότι
η ενσωμάτωση του Χρόνου
σε ένα ενιαίο μαθηματικό πλαίσιο
με τις τρεις Διαστάσεις του Χώρου
(Μήκος, Πλάτος, Ύψος)
και τον σχηματισμό του Χωρόχρονου
οδήγησε στις διάσημες εξισώσεις
που περιγράφουν τις Φυσικές Θεωρίες
του σήμερα (2020)
και απογείωσαν τις άλλες επιστήμες
(Χημεία, Βιολογία, Πληροφορική)
αλλά κυρίως την Τεχνολογία

Χωρίς την γνώση των τετραδιάστατων εξισώσεων
δεν θα υπήρχε ούτε η Κβαντική Θεωρία Πεδίου
και επομένως ούτε και τα computers και το internet.

Το πως ενσωματώνεται
ο Χρόνος σε έναν τετραδιάστατο Χώρο
υπήρξε μεγάλο πρόβλημα
για αρκετό καιρό
μέχρι να βρεθεί ο σωστός τρόπος

Στη συνέχεια
θα δούμε πως γίνεται αυτή η σύζευξη
και θα εντυπωσιαστούμε από την απλότητά της

------

H παραπάνω εικόνα παριστάνει
την θυσία της Ιφιγένειας (1210 π.Χ.)
------------------
Ο Αγαμέμνων είχε συγκεντρώσει τον στόλο
όλων των Αχαιών μισθοφόρων στην Αυλίδα
για να μεταβούν στην Τροία,
να συμμετάσχουν στην πολιορκία της,
και έτσι σύμφωνα με το Διεθνές Δίκαιο
να μπορούν να συμμετάσχουν στην λαφυραγωγία της.
...
Όμως, οι Ολύμπιοι Θεοί
δεν συμφωνούσαν σε αυτήν ανίερη εκστρατεία
(καθόσον δεν τους επέτρεπε η ηθική Τους)
Γιαυτό,
έστειλαν άπνοια στην Αυλίδα
και εκβίασαν τον άνακτα:
- Θέλεις, Αγαμέμνονα, να λεηλατήσεις μια πόλη?
Ωραία. Θα πληρώσεις το κόστος.
Θυσίασε την κόρη σου
και εμείς θα στείλουμε τους ανέμους!
Ήταν ένας ξεκάθαρος Θεϊκός εκβιασμός.
----------
Τώρα θα αναρωτηθείτε
τι σχέση έχει αυτό το γεγονός
με τον Χωρόχρονο?
Έχει.
Επειδή, και τώρα, οι φυσικοί υφίστανται
έναν παρόμοιο εκβιασμό.
Τους λέει ο Ύψιστος.
- Θέτε, φυσικοί, να αναπαραστήσετε
ένα ορθογώνιο Τετρα-διάστατο Σύστημα Συντεταγμένων
που θα σας δίνει την δυνατότητα
να σχεδιάσετε το Διάνυσμα Θέσης (r) του Χωρόχρονου?
Ωραία. Θα θυσιάσετε μία από τις τρεις Διαστάσεις!
--------
Στο παρακάτω σχήμα 
βλέπετε ένα Σύστημα Συντεταγμένων
που έχουμε προσθέσει
εκτός από τις γνωστές Διαστάσεις (x,y,z)
και μία τέταρτη (t)
Όσο και να το παλέψετε
ορθογώνιο τετραδιάστατο σύστημα
δεν θα πετύχετε, ποτέ, να σχεδιάσετε ή να κατασκευάσετε

----
Και αυτό είναι λογικό.
- 0. Αν, υποθετικά, κάποιος ζει σε ένα Σημείο (Ο)
(δηλαδή, σε Χώρο μηδενικού αριθμού Διαστάσεων)
δεν μπορεί να σχεδιάσει μία Γραμμή
- 1. Αν, υποθετικά, κάποιος ζει σε μία Γραμμή
(δηλαδή, σε Χώρο μίας Διάστασης)
δεν μπορείτε να σχεδιάσει ένα επίπεδο
- 2. Αν, υποθετικά, κάποιος ζει σε ένα Επίπεδο
(δηλαδή, σε Χώρο δύο Διάστασεων)
δεν μπορεί να σχεδιάσει έναν κύβο
- 3. Οπότε λογικά, και εμείς που ζούμε σε έναν Κύβο
(δηλαδή, σε Χώρο τριών Διάστασεων)
δεν μπορεί να σχεδιάσουμε έναν Υπερ-Κύβο
(δηλ. έναν τετραδιάστατο κύβο)
-----
Άμα, όμως επιμένουμε να το κάνουμε
πρέπει
(σαν τον Αγαμέμνονα)
να κάνουμε μια θυσία
δηλαδή αντίστοιχα
να θυσιάσουμε μια Διάσταση
όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 

Συνήθως, θυσιάζουμε την πλέον απεχθή,
δηλαδή, την z-Διάσταση,
και στην θέση της βάζουμε τον Χρόνο
(Αλλά αυτό δεν είναι υποχρεωτικό
Ο καθένας θυσιάζει όποια θέλει)

===========
Στη συνέχεια θα δούμε
ότι αν και η Εποπτεία μας απαγορεύει
να σχεδιάζουμε
ένα ορθογώνιο 4D-σύστημα στον Χωρόχρονο
ωστόσο
η Φυσική αποφεύγει την θυσία
χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά.

----

Πλησιάζοντας
προς το τέλος αυτής της σειράς
υπενθυμίζουμε ότι στο προηγούμενο μέρος
είδαμε
ότι ο Άνθρωπος, εκ κατασκευής της αντίληψής του,
αδυνατεί να συλλάβει εποπτικά
την έννοια του τετρα-διάστατου 4D-Χώρου
ενώ μπορεί, κάλλιστα,
να αντιληφθεί:
- τον μηδενικών διαστάσων 0D-Χώρο (δηλ. ένα σημείο)
- τον μονο-διάστατο 1D-Χώρο (δηλ. μία ευθεία)
- τον δισ-διάστατο 2D-Χώρο (δηλ. ένα τετράγωνο)
- τον τρισ-διάστατο 3D-Χώρο (δηλ. έναν κύβο)

Επομένως
αδυνατεί να αντιληφθεί γεωμετρικά και τον Χωρόχρονο
που έχει για 4η διάσταση τον Χρόνο.

Αυτό ήταν ένα απαράβατο όριο που
είναι ενσωματωμένο στην εποπτική Γεωμετρία
και δεν επιτρέπει εποπτεία ή κατασκευή
ορθογωνίου τετραδιάστατου Συστήματος Συντεταγμένων

- Γιατί?
- Επειδή αυτό ήταν το θέλημα του Ύψιστου .
---------------------
Όμως
όπως, μας πληροφορεί και ο Michael Atiyah
ο κορυφαίος μαθηματικός
(που ήταν από τους ελάχιστους απόλυτους γνώστες
της Κβαντομηχανικής)
επενέβη ο Διάβολος
και έκανε με τους Μαθηματικούς μια συμφωνία.

Τους είπε λοιπόν:
"Θα σας δώσω αυτήν πανίσχυρη μηχανή
(εννοεί την Άλγεβρα)
που θα σας δίνει διέξοδο σε κάθε δυσκολία σας
(που θα έχετε με την Εποπτεία)
αλλά ...
θα μου δώσετε την "ψυχή" σας
(εννοεί την εποπτική Γεωμετρία)
να την μετατρέψω σε Αλγεβρική."

-----------------------
Έτσι
οι Μαθηματικοί και οι Φυσικοί
παρέλαβαν
τα αλγεβρικά εργαλεία
που τους επιτρέπουν
να μελετήσουν οποιοδήποτε Χώρο
όποια μορφή και εάν έχει
ανεξάρτητα με τον αριθμό των διαστάσεών του.

"Ἀπό δέ τήν χάριν αὐτήν, οι τυφλοί φυσικοί ἀνέβλεψαν"

----------------------
Όπως αναφέραμε στα προηγούμενα
στον 3D-Ευκλείδειο Χώρο
το Διάνυσμα Θέσης (r)
(που μας ανοίγει τον δρόμο
να βρούμε την μετρική του Χώρου
η οποία μας επιτρέπει να τον μελετήσουμε πλήρως
και να θεμελιώσουμε
μέσα σε αυτόν
όλη την υπάρχουσα Κλασσική Φυσική)
γράφεται σύμφωνα
με τον Λογισμό των Μητρών
σε δύο τύπους:
- τον αντι-αλλοίωτο (contra-variant)
- τον συν-αλλοίωτο (co-variant)

--------------------------
Προσθέτοντας τώρα
την 4η διάσταση του Χρόνου
(που η εποπτεία δεν μας την επιτρέπει)
η μετάβαση είναι απλή
Απλά επεκτείνουμε τις τρισδιάστατες μορφές
του Διανύσματος Θέσης (r)
(δηλ. μήτρα-στήλη και μήτρα σειρά)
τοποθετώντας την Χρονική διάσταση
στις δύο αυτές μορφές
Έτσι τις μετατρέπουμε σε:
- μία τετραδιάστατη contravariant μήτρα-στήλη, και
- μία τετραδιάστατη covariant μήτρα-σειρά.

Πιο απλούστατη μετάβαση
από τον 3D στον 4D Χώρο δεν γίνεται !!

-----------------------------
Όμως
"ο Διάβολος κρύβεται στις λεπτομέρειες."

Ήταν δυνατόν ο Διάβολος
να σου κάνει δώρο
το "Κουτί της Πανδώρας"
χωρίς να χώσει μέσα και δυο δαίμονες?

1) Ο ένας "δαίμονας" είναι η ταχύτητα του φωτός (c)
που όπως βλέπουμε στην εικόνα του 2ου σχολίου
συνοδεύει την Χρονική Διάσταση (t)
για να μετατρέψει, πρακτικά την χρονική μονάδα (sec)
σε χωρική (meter)
αλλά,
"ύπουλα" και "υποχθόνια"
για να αφαιρέσει από τον Άνθρωπο
την πρόσβαση στον μισό Χωρόχρονο
όπως βλέπετε από
τον περίφημο Κώνο Φωτός

2) Ο έτερος "δαίμονας" είναι
το "μείον του Διαβόλου" (Devil's minus) (-)
Όπως θα δείτε
αν παρατηρήσετε προσεκτικά
το σχήμα του 2ου σχολίου
την covariant μορφή του Διάνυσματος Θέσης
θα διαπιστώσετε
ότι
ενώ όλες οι άλλες Διαστάσεις (x,y,z,)
παραμένουν με θετικό πρόσημο
ο Χρόνος (t) συνοδεύεται εδώ
από ένα απροσδόκητο μείον (-)
...
Ε ... αυτό το απροσδόκητο μείον (-)
είναι που ανατρέπει τα πάντα!

Δηλαδή, συμπερασματικά,
Ο Χωρόχρονος που προκύπτει
δεν είναι απλά
ένας τετραδιάστατος Ευκλείδειος ( ℝ⁴ )
όπως θα το ήταν το πρέπον
(αν ο Ύψιστος αγαπούσε τους Φυσικούς
και δεν ήθελε να τους ταλαιπωρεί)
αλλά ..
ένας Ψευδο-Ευκλείδειος Χώρος
που αποκαλείται
Χώρος Minkowski ( Μ )

====================
Όσο και να φαίνεται περίεργο
αυτό ακριβώς το μείον (-)
μόνον στον covariant τύπο
του Διανύσματος Θέσης ( r )
(και όχι και στον contavariant !)
αλλοιώνει την "ελλειπτικότητα"
της μετρικής του Χωρόχρονου
προσδίδοντάς της
και μία δόση "υπερβολικότητας"

Τελειώνοντας
ας μείνουμε σε ένα σημαντικό σημείο.
Όλες οι εντυπωσιακές ιδιομορφίες
που συναντά όποιος μελετά
τον 4D-Χωρόχρονο
συγκριτικά με τον οικείο μας 3D-Ευκλείδειο
οφείλονται αποκλειστικά
σε εκείνο το διάσημο μείον (-)
που μπαίνει στην covariant μορφή
του Διανύσματος Θέσης (r)
όπως εξηγήσαμε στο προηγούμενο μέρος

Αυτό το μείον (-) αντανακλάται
στην ελάχιστη απόσταση δύο σημείων του,
(που ονομάζουμε "Mετρική")

Η Μετρική (s) με την σειρά της
επιδρά καταλυτικά
σε όλα τα Φυσικά Φαινόμενα
που διαδραματίζονται στον Χωρόχρονο
και καθορίζει και την περιγραφή τους
από την Φυσική

Σε βαθύτερο μαθηματικό επίπεδο
το περίφημο αυτό μείον (-)
τοποθετείται αρχικά στον Μετρικό Τανυστή (g)
και από αυτόν περνάει στην Μετρική

Ως παράδειγμα αυτής της επίδρασης
του "δαιμονικού" μείον (-) είναι
ότι
ανάλογα σε ποιές διαστάσεις γίνεται
μια στροφή ενός σώματος
αυτή μπορεί να είναι
- είτε η συνήθης ελλειπτική
- είτε η παράξενη υπερβολική

Εδώ φαίνεται ο τύπος των στροφών

που μπορεί να κάνει ένα σώμα

ανάλογα

σε ποιό επίπεδο του Χωρόχρονου αυτό βρίσκεται:

π.χ.

- αν βρίσκεται σε χωρο-επίπεδο (x,y) ή (y,z) ή (z,x,)

θα κάνει την συνηθισμένη "ελλειπτική" στροφή

- αν βρίσκεται σε χρονο-επίπεδο (x,t) ή (y,t) ή (z,t)

θα κάνει την ασυνήθιστη "υπερβολική" στροφή

που λέγεται και προώθηση (boost)

και οδηγεί στην Ειδική Σχετικότητα

Τέλος πρέπει να αναφέρουμε
ότι
από τις υπάρχουσες εξισώσεις του Χωρόχρονου
δεν εξηγείται γεωμετρικά
(δηλ. χωρίς την βοήθεια της Εντροπίας)
η ιδιομορφία της Χρονικής Διάστασης
να επιτρέπει
σε ένα τρισδιάστατο Ον (όπως είναι ο Άνθρωπος)
να κινείται μόνον από το Παρελθόν στο Μέλλον
και όχι και αντίστροφα
όπως συμβαίνει
με τις τρείς Διαστάσεις του Χώρου

Αυτό είναι το Παράδοξο του "βέλους του Χρόνου"
που εδώ και έναν αιώνα
απασχολεί τους καλύτερους φυσικούς στον Πλανήτη
χωρίς να διαφαίνεται (προς το παρόν) κάποια λύση.

Euclidean & Minkowskian Space - 01

 

3D-Ευκλείδειος
&
4D-Χωρόχρονος
(Μέρος 1)

Μερικές φορές
βλέπεις πολύ σημαντικές ερωτήσεις

===============
Ο Xρόνος συμπεριφέρεται ως μια τέταρτη διάσταση
όμοια με τις χωρικές x,y,z ή είναι άλλης υφής;
Δηλαδή, 
ο Xωρόχρονος είναι όπως ο τετραδιάστατος Ευκλείδειος (R^4) 
όπου έχω ένα τετραδιάστατο διάνυσμα (x,y,z,t);
ή συμβαίνει κάτι άλλο?

============
Είναι πολύ σημαντικό
και για την Κβαντομηχανική αλλά και για όλη την Φυσική γενικότερα
να γνωρίζουμε την συμπεριφορά του Χρόνου.

=============
Για να προσπαθήσουμε να το αναλύσουμε
κάπως

Ας δούμε πρώτα ένα απλό παράδειγμα:
Την Κίνηση της Γης περί τον Ήλιο

Αν θέλουμε μια απεικόνιση σε δισ-διάστατο χώρο τότε το σχήμα είναι αυτό:

....
Αν θέλουμε να στοιβάξουμε τις εικόνες αυτές στον τρισ-διάστατο Χώρο
τότε το σχήμα είναι αυτό

....
Τέλος
Αν θέλουμε να δούμε το φαινόμενο
ως τετρα-διάστατοι παρατηρητές
τότε το σχήμα είναι αυτό 

Πριν ασχοληθούμε με τον 4D-Χωρόχρονο
ας ρίξουμε μια ματιά στον 2D-Χώρο (δηλ. στο επίπεδο)

=============
Κάθε Χώρος (ανεξαρτήτως διάστασης)
καθορίζεται (ως προς το ποιές ιδιότητες έχει)
από μία συνάρτηση που λέγεται Μετρική (s)
και η οποία απλοϊκά
είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων του.

Η μετρική σχετίζεται πολύ στενά με το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Ας δούμε το σχήμα.

Οι Μαθηματικοί Χώροι μπορούν να έχουν
ποικίλες μετρικές διαφόρων μορφών και παραλλαγών
Όμως, εμάς,
μας απασχολεί η μετρική του δικού μας
του Γεωμετρικού Χώρου
μέσα στον οποίο είναι το Σύμπαν

Το τι μετρική έχει ο Γεωμετρικός Χώρος
δεν το ξέρουμε.
Εξαρτάται από το αν είναι συμπαγής
ή έχει "τρύπες"
όπως π.χ. στο σχήμα της ανάρτησης

Λογικά, σκεπτόμαστε
ότι ο Ύψιστος δεν θα έφτιαχνε έναν
Φυσικό Χώρο με τυχαίες τρύπες
γιατί τότε ο Άνθρωπος δεν θα μπορούσε
να φτιάξει ούτε Γεωμετρία ούτε Φυσική
ούτε Βιολογία ούτε Γεωλογία κλπ
Όμως
αυτό είναι μία εικασία.
Ποιός μπορεί να ξέρει
ποιές είναι οι βουλές του Υψίστου?

Θα μπορούσε ο Γεωμετρικός Χώρος
π.χ. να έχει ομοιόμορφες τρύπες
που να έχουν σχήμα τετραγώνου
οπότε η μετρική θα ήταν
η "κόκκινη" ή "κίτρινη" ή "γαλάζια" γραμμή

Όμως έτσι
οι έμβιοι ή άβιοι κάτοικοι του Χώρου
θα ξόδευαν περισσότερη ενέργεια
στις διαδρομές.

Με το σκεπτικό λοιπόν
ότι ο Θεός είναι τσιγκούνης
και δεν πετά την πολύτιμη Ενέργειά Του, "άσκοπα",
θεωρήσαμε ότι
ο Γεωμετρικός Χώρος δεν έχει κενά τετράγωνα
οπότε η μετρική
λογικά, πρέπει να είναι η "πράσινη" διαγώνια γραμμή.

Ο Χώρος που έχει αυτήν την "πράσινη" μετρική
λέγεται Ευκλείδειος Χώρος
και
όλη η Κλασσική Φυσική που έχουμε
στηρίζεται σε αυτή την προϋπόθεση
(δηλ "του τσιγκούνη Θεού")
και επαληθεύεται από το γεγονός ότι
η Κλασσική Τεχνολογία
(δηλ. μηχανήματα, οικήματα κλπ),
που αποτελεί προϊόν της Φυσικής μας,
υπάρχει.

Αν η μετρική μας δεν ήταν Ευκλείδεια
κανένα δόμημα ή μηχάνημα
από αυτά που βλέπουμε στον Μακρόκοσμο
δεν θα μπορούσε να κατασκευαστεί.

----

Το μεγάλο πλεονέκτημα που παρέχει
το γεγονός ότι ο Γεωμετρικός Χώρος είναι Ευκλείδειος (ℝ³)
είναι ότι
μπορείς να χρησιμοποιείς
Συστήματα Συντεταγμένων (O,x,y,z)
για να καθορίζεις αποστάσεις και άλλα Φυσικά Μεγέθη,
γενικότερα.

Αυτά δίνουν την δυνατότητα χειρισμού
με μαθηματικά,
των Φυσικών Φαινόμενων (π.χ Κίνηση, Παραμόρφωση κλπ)
και ουσιαστικά
τοποθετούν Άλγεβρα και Γεωμετρία
στα θεμέλια της Φυσικής

Έχει μεγάλη σημασία για την Φυσική
η ύπαρξη Συστημάτων Συντεταγμένων
επειδή εκεί "κατοικούν"
οι λεγόμενοι "Παρατηρητές" (έμβιοι ή άβιοι, δεν έχει σημασία)

Ένα Σύστημα Συντεταγμένων
που συνοδεύεται από Παρατηρητή
ονομάζεται "Σύστημα Αναφοράς"

Στο παραπάνω σχήμα 
- στο κέντρο βρίσκεται ένα "Ακίνητο Σύστημα Αναφοράς"
ενώ
- τα άλλα δύο είναι "Κινούμενα Συστήματα Αναφοράς"

Μερικές φορές
- οι Παρατηρητές των Ακινήτων Συστημάτων
ονομάζονται "Παρατηρητές Euler-Frenet"
(π.χ. αυτοί που μελετούν την ροή του ποταμού
από την όχθη του)
ενώ
- οι Παρατηρητές των Κινούμενων Συστημάτων
ονομάζονται "Παρατηρητές Lagrange-Gauss"
(π.χ. αυτοί που μελετούν την ροή του ποταμού
πλέοντας μαζί του)

Οι ονομασίες παραπέμπουν
σε εξωτερική και εσωτερική καμπυλότητα επιφάνειας
καθώς φαίνεται ότι
υπάρχει και στην περίπτωση αυτή
ένας από τους πολλούς Δυισμούς της Φύσης

Οι φυσικοί εκμεταλλεύονται τους Δυισμούς αυτούς
για να κατανοήσουν καλύτερα την Φύση.

Ακολουθεί άλλος ένας σημαντικός Δυισμός

----------------------
Eίδαμε ότι στην Φύση υπάρχει Δυισμός Παρατηρητών

Τώρα θα δούμε έναν άλλο σημαντικότερο Δυισμό

Αυτός αφορά τους δύο τρόπους
με τους οποίους ένας Παρατηρητής
μπορεί να καθορίσει ένα σημείο ενός Χώρου
(π.χ. το κέντρο βάρους ενός σώματος):

1. Ο ένας τρόπος είναι
να ορισθεί το σημείο ως τομή των εφαπτομένων
σε τρείς τεμνόμενες καμπύλες (q1, q2, q3)
(αριστερό σχήμα
με τα κίτρινα Μοναδιαία Διανύσματα)

2. Ο δεύτερος τρόπος είναι
να ορισθεί το σημείο ως τομή των καθέτων
σε τρία τεμνόμενα επίπεδα
που είναι εφαπτόμενα
στις τρείς προηγούμενες καμπύλες (q1, q2, q3)
(δεξιό σχήμα με τα γαλάζια Μοναδιαία Διανύσματα)

Είναι εντυπωσιακό ότι
όσες και Διαστάσεις να έχει ένας Χώρος
πάντα δύο είναι αυτοί οι τρόποι:

- ο πρώτος στηρίζεται στην Ιδιότητα
που ονομάζεται Εφαπτομενικότητα (tangentiality)
(που σχετίζεται με την Παραγώγιση)

- ο δεύτερος στηρίζεται στην Ιδιότητα
που ονομάζεται Καθετότητα (perpendicularity)
(που σχετίζεται με την Ολοκλήρωση)

Ίσως κάποιος παραξενεύεται με την ύπαρξη των Δυισμών

Όμως, έτσι, είναι κατασκευασμένος ο Κόσμος
π.χ.
- Εκθέτης ( ~ Τηλεσκόπιο) vs Λογάριθμος (~ Μικροσκόπιο)
- Σωματίδιο vs Κύμα
- Συμπαθητικό vs Παρασυμπαθητικό Νευρικό Σύστημα
- Κυβέρνηση vs Αντιπολίτευση
- Αριστερά (Σοσιαλισμός) vs Δεξιά (Φιλελευθερισμός)
- Θρησκειότητα vs Αθεΐα
- θύμα vs θύτης

Ο Κόσμος μας είναι
κατασκευασμένος από την θεμελίωσή του
(από την Γεωμετρία και την Φυσική
έως την Βιολογία και την Κοινωνιολογία)
να είναι ανταγωνιστικός.

Τι να κάνουμε?
Φαίνεται ότι ο Ύψιστος μισεί τον Μονισμό.


Είδαμε λοιπόν
ότι ο Παρατηρητής σε έναν Ευκλείδειο Χώρο
έχει δύο ισοδύναμους τρόπους να περιγράψει ένα σημείο
(π.χ. το κέντρο βάρους ενός σώματος)
- τον εφαπτομενικό (με χρήση τεμνομένων καμπυλών) και
- τον καθετοτικό (με χρήση τεμνομένων επιφανειών)

Μετά είδαμε ότι
για την μαθηματική εκπροσώπηση αυτών
απαιτείται η χρήση:
- αντι-αλλοίωτων διανυσμάτων (contra-variant)
που οι συνιστώσες τους μπορούν να αναπαρασταθούν από μήτρες-στήλες
- συν-αλλοίωτων διανυσμάτων (co-variant)
που οι συνιστώσες τους μπορούν να αναπαρασταθούν από μήτρες-γραμμές

Οπότε
φτάσαμε στο πλέον στην δυνατότητα
να βρούμε αυτό που ζητούσαμε:
δηλ. την μετρική (s) του 3D-Ευκλείδειου Χώρου

Πως ?
Με το Εσωτερικό Γινόμενο
Δηλ.
Πολλαπλασιάζοντας τις covariant συνιστώσες
με τις αντίστοιχες contravariant !

Ο πολλαπλασιασμός διανυσμάτων
δεν είναι τόσο απλός
όσο ο πολλαπλασιασμός των αριθμών
Καθορίζεται από τον Λογισμό Μητρών ( ~ πινάκων)
που ο Άνθρωπος μόνο τους τελευταίους αιώνες
τον ανακάλυψε.

Ας σημειώσουμε βέβαια 
ότι και ο απλός πολλαπλασιασμός 
"υποκρύπτει" κάποιον αντίστοιχο δυισμό
όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα





-------------
Βάζω ένα παράδειγμα, στην μέση της εικόνας,
με αριθμούς
για να φανεί ο τρόπος που αυτός γίνεται γίνεται.
Στην ερώτηση
γιατί γίνεται ο πολλαπλασιασμός
με αυτόν τον τρόπο και όχι με κάποιους άλλους
η απάντηση είναι ότι έτσι θέλησε ο Ύψιστος.
Μέσα από πορεία αιώνων
και δοκιμάζοντας χιλιάδες αποτυχημένες παραλλαγές
οι μαθηματικοί βρήκαν ότι αυτός είναι ο σωστός τρόπος
--------------

Γνωρίζοντας λοιπόν
τον τρόπο που πολλαπλασιάζονται
οι συνιστώσες των διανυσμάτων
εύκολα βρίσκουμε
την ποθητή μετρική
s² = x² + y² +z²

Παρατηρούμε με ικανοποίηση
ότι το αποτέλεσμα δεν είναι άλλο
από το πασίγνωστο Πυθαγόρειο Θεώρημα
s² = x² + y²
που γνωρίζαμε για το δισδιάστατο Επίπεδο
γενικευμένο όμως τώρα για τρισδιάστατο Χώρο

---------------
Γνωρίζοντας αυτά
θα πάμε στο επόμενο μέρος
να δούμε
πόσο εύκολο γίνεται πλέον
το πέρασμα από τον 3D-Ευκλείδειο Χώρο
στον 4D-Χωρόχρονο

=================================
Εδώ το παράδειγμα από την Βιολογία

Μπορεί κάποιος με αρκετή φαντασία
να υποθέσει ότι η παράξενη αρμονική συνεργασία
των δύο Νευρικών Συστημάτων
Συμπαθητικού και Παρασυμπαθητικού
έχει τις "ρίζες" της
στην μαθηματική συνεργασία
contravariant και covariant περιγραφών
προκειμένου
να συνθέσουν το Εσωτερικό Γινόμενο
που οδηγεί στην εύρεση της Μετρικής
η οποία συνεργασία
περνάει από τα Μαθηματικά στην Φυσική
από εκεί στην Χημεία και στην Βιοχημεία
και τελικά καταλήγει
στην Φυσιολογία των Έμβιων Όντων.