IonnKorr: Electromagnetism a la Mendeleev

Ηλεκτρομαγνητισμός αλά Mendeleev
-C-11-

C. Ηλεκτροδυναμική
Παράδειγμα: Δισ-διάστατος Χώρος (1)

--------------------------------------------------------------------

Εδώ βρίσκουμε τα περιεχόμενα της θεματικής ενότητας

--------------------------------------------------------------------

Στο προηγούμενο Μέρος C-10 είχαμε αφήσει τους
Μονοδιάστατους Θεωρητικούς Φυσικούς
να "κλαίνε" και να "οδύρονται"
καθώς τα νεοεμφανισθέντα "Επαγωγικά Φαινόμενα"
κατέστρεφαν την Οικουμενική Συμμετρία (global symmetry)
οπότε δεν διασφαλίζονταν η Αναλλοιότητα των Φυσικών Νόμων

Η απελπισία
των Μονοδιάστατων Θεωρητικών Φυσικών
(όταν συνειδητοποίησαν
την πλήρη κατάρρευση
του Μονοδιάστατου Φυσικού Μοντέλου)
ήταν απερίγραπτη

Ας θυμηθούμε πως είχε η κατάσταση των Φυσικών Νόμων
του "Μονοδιάστατου Φυσικού Μοντέλου"
μετά την επιπρόσθεση όρων από τα πειράματα
που περιείχαν την "καταραμένη" παράμετρο (y)
που κατέστρεφε ολοκληρωτικά την Οικουμενική Συμμετρία (global symmetry)

${\begin{array}{l}E_{x}=-\;{\color {red}{\operatorname {grad} }}\;V\\E_{y}=-{\frac {\partial }{\partial y}}\;V\\B={\color {red}{\operatorname {curl} }}\;A-{\frac {\partial }{\partial y}}A_{x}\\Q={\color {red}{\operatorname {div} }}\;D+{\frac {\partial }{\partial y}}D_{y}\\J={\color {red}{\operatorname {curl} }}\;H-{\frac {\partial }{\partial y}}H_{x}\\\end{array}}$

Υπενθύμιση:
- Οι δύο πρώτες εξισώσεις αφορούν
τα Ηλεκτρικά Πεδία ("διαμήκες" και "εγκάρσιο")
- Η τρίτη εξίσωση αφορά το Μαγνητικό Πεδίο
- η τέταρτη εξίσωση αφορά το Ηλεκτρικό Φορτίο
- η πέμπτη εξίσωση αφορά το Ηλεκτρικό Ρεύμα

Η κατάσταση είναι όμοια με αυτή που περιγράφηκε για την Κίνηση
στο Μέρος C-06

Μόνη λύση, λοιπόν, στο αδιέξοδο
ήταν η αναβάθμιση της "καταραμένης" παραμέτρου (y)
σε Διάσταση
ώστε να απορροφηθεί από γενικευμένους Διαφορικούς Τελεστές
και έτσι να "εξοβελισθεί" η παρουσία της από τις εξισώσεις του Μοντέλου

Βέβαια, η αναβάθμιση μιας παραμέτρου σε Διάσταση
δεν ήταν κάτι που θα μπορούσε εύκολα να "καταποθεί αμάσητο"
καθώς σήμαινε
την αποδοχή εκ μέρους των Μονοδιάστατων Ανθρώπων
του γεγονότος ότι ο Χώρος τους δεν ήταν
Μονοδιάστατος όπως, τους βεβαίωνε η αισθητηριακή εμπειρία τους
αλλά
Δισ-διάστατος όπως, τους υποδείκνυαν κάποιες μαθηματικές εξισώσεις (!)
Ε ... και αυτό ήταν μία βαθεία προκατάληψη
που δεν μπορούσε, εύκολα, να υπερνικηθεί.

Ωστόσο, καθώς δεν υπήρχε άλλη διέξοδος
οι Θεωρητικοί Φυσικοί
προχώρησαν στην κατασκευή του νέου
"Δισδιάστατου Φυσικού Μοντέλου"

Σημαντικό ρόλο στην διατύπωση των εξισώσεων
παίζει η "διαστατική γενίκευση" του τελεστή της διαφόρισης
στον λεγόμενο τελεστή "Ανάδελτα"

${\color {red}{\vec {\nabla }}}={\color {red}{\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}}+{\color {red}{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}}$

Προσθήκη λεζάντας

και σε μητραϊκή μορφή:

${\color {red}{\vec {\nabla }}}={\begin{bmatrix}{\color {red}{\frac {\partial }{\partial x}}}\\{\color {red}{\frac {\partial }{\partial y}}}\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην καθαρή Φυσική

Έχουμε λοιπόν
σε αντιδιαστολή με όσα αναφέρθηκαν στο Μέρος C-07

1) Ηλεκτρικό Πεδίο
α) Παύει πλέον η διαφορετικότητα μεταξύ των
"διαμήκες Ηλεκτρικό Πεδίο" και "Εγκάρσιο Ηλεκτρικό Πεδίο"
καθώς η Ηλεκτρική Ένταση αναβαθμίζεται, πλέον, σε ένα 2-διάνυσμα
με μήτρα (1x2)

${\vec {E}}={\begin{bmatrix}E_{x}&E_{y}\\\end{bmatrix}}$

Συναλλοίωτο Διάνυσμα
με 1 σειρά και 2 στήλες

β) Το Ηλεκτρικό Δυναμικό παραμένει ως έχει
δηλ. βαθμωτό με μήτρα (1x1)

$V={\begin{bmatrix}V\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

2) Μαγνητικό Πεδίο
α) Η Μαγνητική Ένταση παραμένει ως έχει
δηλ. βαθμωτό με μήτρα (1x1)

$B={\begin{bmatrix}B_{z}\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

β) Το Μαγνητικό Δυναμικό αναβαθμίζεται, πλέον, σε ένα 2-διάνυσμα
με μήτρα (2x1)

${\vec {A}}={\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

3) Ηλεκτρικό Φορτίο
α) Η Φορτιακή Πυκνότητα παραμένει ως έχει
δηλ. βαθμωτό με μήτρα (1x1)

$Q={\begin{bmatrix}Q\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

β) Το Φορτιακό Δυναμικό αναβαθμίζεται, πλέον, σε ένα 2-διάνυσμα
με μήτρα (2x1)

${\vec {D}}={\begin{bmatrix}D_{x}\\D_{y}\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

4) Ηλεκτρικό Ρεύμα
α) Η Ρευματική Πυκνότητα παραμένει ως έχει
δηλ. βαθμωτό με μήτρα (1x1)

$J={\begin{bmatrix}J_{z}\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

β) Το Ρευματικό Δυναμικό αναβαθμίζεται, πλέον, σε ένα 2-διάνυσμα
με μήτρα (2x1)

${\vec {H}}={\begin{bmatrix}H_{x}\\H_{y}\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

-------

Οπότε, με την βοήθεια αυτού του τελεστή,
οι πέντε εξισώσεις που αναφέρονται στην αρχή
μπορούν να γραφούν:

${\begin{array}{l}{\vec {E}}=-{\color {red}{\vec {\nabla }}}\cdot V\\B={\color {red}{\vec {\nabla }}}\times {\vec {A}}\\Q={\color {red}{\vec {\nabla }}}\;{\boldsymbol {\cdot }}\;{\vec {D}}\\J={\color {red}{\vec {\nabla }}}\times {\vec {H}}\\\end{array}}$

Προσθήκη λεζάντας

Και τελικά,
κάνοντας χρήση των "διάσημων" "Διαφορικών Τελεστών"
(που γενικεύθηκαν, αντίστοιχα, ώστε να προσαρμοστούν,
στην νέα δισ-διάστατη πραγματικότητα)
έχουμε:

${\begin{array}{l}{\vec {E}}=-{\color {red}{\operatorname {grad} }}\;V\\B={\color {red}{\operatorname {curl} }}\;{\vec {A}}\\Q={\color {red}{\operatorname {div} }}\;{\vec {D}}\\J={\color {red}{\operatorname {curl} }}\;{\vec {H}}\\\end{array}}$

Προσθήκη λεζάντας

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ακριβώς αντίστοιχες
με τις εξισώσεις που είχαμε αναφέρει στο Μέρος C-07
για τον Μονοδιάστατο Χώρο
και συναποτελούν το "Δισδιάστατο Φυσικό Μοντέλο"

Το "Δισδιάστατο Φυσικό Μοντέλο", λοιπόν, λειτουργεί θαυμάσια
καθόσον διαθέτει Οικουμενική Συμμετρία (global symmetry)
οπότε διασφαλίζει την Αναλλοιότητα των Φυσικών Νόμων
και επομένως
όλοι οι Δισδιάστατοι Παρατηρητές
λαμβάνουν, ακριβώς, τα ίδια αποτελέσματα,
σε οποιοδήποτε σημείο του Δισδιάστατου Σύμπαντός τους,
κι αν βρίσκονται.

Μετά από
τόση μαθηματική υπερδραστηριότητα
ικανοποιημένοι
οι Μονο-διάστατοι Θεωρητικοί Φυσικοί
(που έγιναν πλέον Δισ-διάστατοι)
από το επιτυχές αποτέλεσμα
συνέχισαν άπνοοι
το κλασσικό ρηλαξάρισμα

-------------------------------------------------------------------

Εδώ βρίσκουμε τα περιεχόμενα της θεματικής ενότητας

--------------------------------------------------------------------