Θεωρία Κόμβων (Knots Theory). Και όμως τα Μαθηματικά μπορούν να είναι συναρπαστικά.

Mobius Band Ποιός θα το φανταζόταν  ότι από τους ταπεινούς "κόμπους"  που ξέρουμε από το δέσιμο ενός σχοινιού  θα προέκυπτε ένας τεράστιος  και ταχύτατα εξελισσόμενος  κλάδος των Μαθηματικών  με συνεχώς νέες ανακαλυπτόμενες εφαρμογές  στην Φυσική, και επομένως, και στην Φύση. Mobius Gears Η Θεωρία Κόμβων (ή Κομβοθεωρία) (Knots Theory) είναι ένας κλάδος της Τοπολογίας που εξετάζει τους κόμβους και τους κρίκους. Torus (Στην Τοπολογία, μια σφαίρα είναι όμοια με έναν κύβο.  Η Τοπολογία δεν εξετάζει τις γεωμετρικές ιδιότητες των αντικειμένων, όπως το μήκος και τις γωνίες, αλλά τις ιδιότητες οι οποίες μένουν αναλλοίωτες ως προς την αλλαγή καμπυλότητας, στρέψης και ως προς τις ελαστικές παραμορφώσεις.)

- Ο πιο απλός κόμβος είναι ο τετριμμένος. - Ο αμέσως επόμενος είναι ο κόμβος trefoil, και μετά είναι - ο κόμβος figure-8.

Trefoil Mobius Band

Το κεντρικό ζήτημα της Θεωρίας των Κόμβων είναι η ταξινόμησή τους. Ταξινομούνται οι "κόμποι"? Απίστευτο!! Κι όμως μπαίνουν σε μια διάταξη και αυτό ακριβώς σημαίνει  "κατανόηση" σε μια Επιστήμη. Όταν μπορεί να ταξινομήσει τα αντικείμενά της σημαίνει ότι έχει επιτύχει τον στόχο της.
Ακολουθεί η ταξινόμηση των βασικών κόμβων.

Ταξινόμηση Κόμβων

Trefoil

Σημασία, βέβαια, έχουν οι εφαρμογές της:
Αναφέρουμε τις σημαντικότερες.
--------------
- Ανεπιτυχής εφαρμογή στην Κοσμολογία

Η Θεωρία Κόμβων αναπτύχθηκε αρχικά με σκοπό να εφαρμοσθεί στη Κοσμολογία
Ο λόρδος Kelvin και η Χημεία έδωσαν το έναυσμα για να αναπτυχθεί η Θεωρία Κόμβων τη δεκαετία του 1880. Ο Kelvin υπέθεσε πως όλο το Σύμπαν περιβαλλόταν από μια ουσία, τον αιθέρα, και πως η ύλη μπορούσε να περιγραφεί ως κόμβοι μέσα σε αυτόν. Όμως, όπως γνωρίζουμε σήμερα αυτό δεν είναι αληθές. Αυτό που οδήγησε τη Θεωρία Κόμβων να γίνει ένας σημαντικός κλάδος των μαθηματικών ήταν το πρόσφατο ενδιαφέρον.

------------------

- Εφαρμογή στην Θεωρία Γραφημάτων

Η πρώτη, ίσως, εφαρμογή της Θεωρίας Κόμβων είναι στη Θεωρία Γραφημάτων. όπως πρώτοι ήδη το 1983 οι Conway και Gordon απέδειξαν.

------------------

- Εφαρμογή στην Στατιστική Μηχανική

Με την ανακάλυψη του πολυωνύμου Jones το 1984, ο ίδιος ο Jones ανακάλυψε επίσης θεμελιώδεις σχέσεις ανάμεσα στη Θεωρία Κόμβων και στη Στατιστική Μηχανική. Η Στατιστική Μηχανική μελετά μεγάλα συστήματα μορίων και εξετάζει τη συνολική συμπεριφορά ενός συστήματος ως προς ιδιότητες όπως η θερμοκρασία, ηενέργεια, η αλλαγή φάσεως κ.λ.π.

Για παράδειγμα το μοντέλο Potts, που εξηγεί την τήξη του πάγου, σχετίζεται με το διχρωματικό πολυώνυμο για γραφήματα, το οποίο οδηγεί στο πολυώνυμο Jones για κόμβους.

------------------

- Εφαρμογή στην Βιολογία

Η Μοριακή Βιολογία μελετά μεταξύ άλλων, το φαινόμενο της αναδιάταξης (recombination) του DNA, κατά το οποίο κάποια ένζυμα, τα τοποϊσόμερα, δρουν στο μόριο, κόβοντας τη διπλή έλικα, και τα τέσσερα ελεύθερα άκρα επανακολλούν με διαφορετικό τρόπο.

Αυτή η δράση των ενζύμων προκαλεί την εμφάνιση κόμβων στο DNA.

Η αναδιάταξη γίνεται σε ελάχιστο χρονικό διάστημα, γι' αυτό οι μοριακοί βιολόγοι αναζητούν ένα θεωρητικό μοντέλο που να περιγράφει την ακριβή διαδικασία της δράσης των ενζύμων. Ένα τέτοιο μοντέλο δόθηκε το 1989 από τους Ernst και Sumners.

--------------

- Εφαρμογή στην Χημεία

Η Θεωρία Κόμβων έχει βρει ενδιαφέρουσες εφαρμογές στην κατασκευή μορίων εναντιομερών. Τα εναντιομερή είναι μια ειδική κατηγορία ισομερών, δηλαδή μορίων με τον ίδιο μοριακό τύπο αλλά διαφορετική σύνδεση των ατόμων στο χώρο. Συγκεκριμένα, δύο εναντιομερή είναι το ένα κατοπτρική εικόνα του άλλου. Αυτό συνεπάγεται διαφορετικές φυσικές ιδιότητες των στοιχείων.

-----------

- Εφαρμογή στην Θεωρία Πολυπτύχων

Η Τοπολογία Χαμηλών Διαστάσεων μελετά τρισδιάστατους χώρους πέρα από τον γνωστό Ευκλείδειο χώρο, που ονομάζονται πολύπτυχα ή πολλαπλότητες (manifolds).Το πρόβλημα της ταξινόμησης των κόμβων σχετίζεται με το πρόβλημα της ταξινόμησης των 3-πολλαπλοτήτων.

Octet Globe

Trefoil Gears