Τετάρτη, 16 Δεκεμβρίου 2015

Electromagnetism a la Mendeleev - O12

Ηλεκτρομαγνητισμός αλά Mendeleev
-Ο12-


Φυσικό μέγεθος.
Επέκταση σε Τανυστές
(οι περισσότεροι και μόνο με το άκουσμα
της λέξης "τανυστής"
μπορούν να πάθουν εγκεφαλικό
Όμως, δεν είναι καθόλου
τραγικά τα πράγματα)

--------------------------------------------------------------------
Εδώ βρίσκουμε τα περιεχόμενα της θεματικής ενότητας
--------------------------------------------------------------------
Στο προηγούμενα είδαμε ότι
στις Ιδιότητες των Στοιχείων του Σύμπαντος
(δηλαδή, των Φυσικών Σωμάτων, των Φυσικών Οντοτήτων
των Φυσικών Φαινομένων και των Φυσικών Επιδράσεων)
η Επιστήμη γενικότερα και η Φυσική ειδικότερα
"επικολλά" ένα ή περισσότερα Φυσικά Μεγέθη
τα οποία μπορούν να εκφράζονται με απλούς αριθμούς (Βαθμωτό μέγεθος)
ή με αριθμούς μαζί με ένα βέλος (Διανυσματικό Μέγεθος)

Ωραία μέχρι εδώ.

Αλλά ...
αυτό το "αριθμός με βέλος" η Φυσική δεν το "χωνεύει"
Γιατί?
Γιατί δεν μπορεί να το διαχειριστεί.

Η Φυσική έχει μόνο μία "γλώσσα". Τα Μαθηματικά.
Οτιδήποτε δεν μεταφράζεται σε αριθμούς είναι ... μη-διαχειρίσιμο.
Η Φυσική δεν μπορεί να διαχειριστεί ... βέλη.

Πως μπορείς όμως να μετατρέψεις ένα βέλος σε αριθμούς???
Να πως.

Με την βοήθεια ενός Συστήματος Συντεταγμένων


Δηλαδή, τοποθετείς τον Παρατηρητή και μαζί του την αρχή O του βέλους
στην αρχή Ο ενός Συστήματος Συντεταγμένων
και το τέλος P του βέλους το ορίζεις με τρείς αριθμούς:
- ο πρώτος είναι η προβολή του στον άξονα x (ονομάζεται τετμημένη (x) )
- ο δεύτερος είναι η προβολή του στον άξονα y (ονομάζεται τεταγμένη (y) )
- ο τρίτος είναι η προβολή του στον άξονα z (ονομάζεται κατηγμένη (z) )


Θα αναρωτηθείς και ποιά θα είναι η τιμή που δείξει ένα Όργανο Καταμέτρησης
για ένα Διανυσματικό μέγεθος???

Η τιμή (s) αυτή προκύπτει από το Πυθαγόρειο Θεώρημα:
         s^2 = x^2 + y^2 + z^2 ,

όπως φαίνεται και από το παρακάτω σχήμα:


Στο σχήμα αυτό
βλέπουμε ότι η τιμή (s)
του Φυσικού Μεγέθους
που μετρείται από το Όργανο Μέτρησης
είναι η τετραγωνική ρίζα
λογικό εφόσον
το θεώρημα του Πυθαγόρα
δίνει το τετράγωνό της

Άρα λοιπόν συνοψίζουμε
- Ένα Βαθμωτό Μέγεθος αποδίδεται με 1 αριθμό 30 = 1
- Ένα Διανυσματικό Μέγεθος αποδίδεται με 3 αριθμούς 31 = 3

Το Διανυσματικό Μέγεθος χρειάζεται ένα βέλος.
Υπάρχουν και Φυσικά Μεγέθη που χρειάζονται περισσότερα βέλη?
Ναι, βέβαια.
Πως λέγονται? Τανυστικά.
- Ένα Τανυστικό Μέγεθος με δύο βέλη (το λέμε, 2ης τάξης) αποδίδεται με 9 αριθμούς 32 = 9
- Ένα Τανυστικό Μέγεθος με τρία βέλη (το λέμε, 3ης τάξης) αποδίδεται με 27 αριθμούς 33 = 27

Η γενίκευση τώρα φαίνεται πανεύκολη:
- Το Βαθμωτό Μέγεθος είναι ουσιαστικά ένα Τανυστικό Μέγεθος μηδενικής τάξης ενώ
- Το Διανυσματικό Μέγεθος είναι ουσιαστικά ένα Τανυστικό Μέγεθος 1ης τάξης

Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι οι αριθμοί
που αποδίδουν ένα Βαθμωτό (scalar) ή ένα Διάνυσμα (vector)
ή έναν Τανυστή (tensor)
δεν είναι "σκόρπιοι" αλλά συγκροτούν ένα "μαθηματικό μόρφωμα"
που λέγεται μήτρα (matrix)

Έτσι έχουμε ένα παράδειγμα (οι αριθμοί είναι τυχαίοι):


1) Ένα Βαθμωτό μέγεθος αποδίδεται από:
από μία Μήτρα 1x1
2) Ένα Διανυσματικό μέγεθος αποδίδεται από:
μία μονό-σειρη (row) Μήτρα 1x3
ή μία μονό-στηλη (column)  Μήτρα 3x1
3) Ένα Τανυστικό μέγεθος 2ης τάξης αποδίδεται από:
από μία Μήτρα 3x3 

  1) Ένα Διανυσματικό μέγεθος αποδίδεται από:
μία Μήτρα 3x1
2) Ένα Τανυστικό μέγεθος 2ης τάξης αποδίδεται από:
μία Μήτρα 3x3 
3) Ένα Τανυστικό μέγεθος 3ης τάξης αποδίδεται από:
 μία Μήτρα 3x3x3
4) Ένα Τανυστικό μέγεθος νιοστής τάξης αποδίδεται από:
μία Μήτρα 3x3x ..... x3 (n φορές)
----------------------
Απλά εδώ πρέπει να αναφέρουμε
ότι η τρισδιάστατη αντίληψή μας, ως άνθρωποι,
μας εμποδίζει να χειριστούμε εποπτικά
μήτρες μεγαλύτερες του 3x3x3
αφού και αυτών ακόμη είναι δύσκολη η τρισδιάστατη διαχείριση
Σε μία 3x3x3 μήτρα
εκτός από σειρές (rows) και στήλες (columns)
έχουμε και σελίδες (pages)

-----------------------
Προφανώς αυτά ισχύουν
αν αναφερόμαστε στον "οικείο" Ευκλείδειο Χώρο
που σύμφωνα με την Εμπειρία μας έχει 3 διαστάσεις (+1 του Χρόνου)

Αν, όμως, αναφερόμαστε στον Υπερχώρο
που σύμφωνα με την Χορδοθεωρία έχει 11 διαστάσεις
τότε τι γίνεται??
Κανένα πρόβλημα
απλά, οι αριθμοί αυτοί αλλάζουν ανάλογα.

Έτσι:
- Ένα Βαθμωτό Μέγεθος αποδίδεται με 1 αριθμό 110 = 1
- Ένα Διανυσματικό Μέγεθος αποδίδεται με 3 αριθμούς 111 = 11
- Ένα Τανυστικό Μέγεθος 2ης τάξης αποδίδεται με 121 αριθμούς 112 = 121
- Ένα Τανυστικό Μέγεθος 3ης τάξης αποδίδεται με 1331 αριθμούς 113 = 1331

Επιμύθιο:
Αυτό που πρέπει να συγκρατήσουμε από όλα αυτά είναι ότι:
- τα Βαθμωτά είναι οι συνηθισμένοι Αριθμοί (της Αριθμητικής) και
- τα Διανύσματα και οι Τανυστές είναι
   οι φυσικές γενικεύσεις τους (της Άλγεβρας).

Όλα αυτά ανακαλύφθηκαν
(δεν δημιουργήθηκαν από την φαντασία των μαθηματικών)
όταν η Φυσική ήρθε αντιμέτωπη με την ανάγκη
να εκφράσει τα πολυποίκιλα Φυσικά Μεγέθη
που προέκυπταν (αναδύονταν είναι η σωστή λέξη)
από την ανάγκη περιγραφής της κάθε Φυσικής Ιδιότητας
που εμφανιζόταν στην αέναη μελέτη της Φύσης.

Πολύ σημαντική σημείωση:Όλα τα παραπάνω μπορούμε να τα ξεχάσουμε
Αυτό που έχει σημασία να κρατήσουμε
είναι ακριβώς η φράση:
- Οι Τανυστές είναι απλά γενικεύσεις των Αριθμών
 δηλ. οι Τανυστές είναι "γενικευμένοι Αριθμοί"

Όμως μπορούμε  να το δούμε και ανάστροφα:
- Οι Αριθμοί είναι, απλά, απλουστεύσεις των Τανυστών
  δηλ. οι Αριθμοί είναι "απλουστευμένοι Τανυστές".

Αυτές οι δύο φράσεις
συνδέουν τα όσα είπαμε με τα επόμενα.
και αποτελούν απλά την κορυφή...
ενός ...τεράστιου παγόβουνου.

Εδώ βρίσκουμε τα περιεχόμενα της θεματικής ενότητας
--------------------------------------------------------------------

Δεν υπάρχουν σχόλια: