Σάββατο, 25 Ιουνίου 2016

Electromagnetism a la Mendeleev - O29

Ηλεκτρομαγνητισμός αλά Mendeleev
-Ο29-


Αναζήτηση
"κρυμμένων" Διαστάσεων
(ια' μέρος)

--------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------

Το ότι το προηγούμενο μέρος χρειαζόταν άμεση αναβάθμιση
νομίζω ότι ήταν άμεσα αντιληπτό.

Ήδη, στο Μέρος Ο18-12 είχαμε αναφέρει
ότι η Σύγχρονη Έρευνα δέχεται πλέον ότι ο τύπος
του γνωστού μας Χωρόχρονου
δεν είναι ο γνωστός τετρα-διάστατος Minkowski
αλλά έχει αναβαθμιστεί πλέον
στον πεντα-διάστατο anti-Sitter (ή αλλιώς, "ΑdS")

Οι λόγοι ήταν πολλοί και αναφέρω δύο:
- την ανάγκη να συμπεριλάβει
  (εκτός από τον μετασχηματισμό περιστροφής)
  και τον μετασχηματισμό αντιστροφής
- την ανάγκη να συμπεριλάβει, ως υπόχωρους,
   και καμπύλους χώρους

Έτσι, λοιπόν,
ο Πραγματικός τετρα-διάστατος Χωρόχρονος Minkowski
αναβαθμίζεται σε
πεντα-διάστατο 5D-Πραγματικό Χωρόχρονο anti-Sitter
(τον μελετήσαμε, ήδη, στο Μέρος Ο18l)

Αντίστοιχα αναβαθμίζονται επίσης:
     α) Τα δύο διανύσματα Μετατόπισης
          (ή αλλιώς διανύσματα Θέσης) είναι:

 \vec{r} = 
\begin{bmatrix} 
\color{Magenta}{0} \\
\color{Red}{+x} \\
\color{Red}{+y} \\ 
\color{Red}{+z} \\ 
\color{Blue}{-t} 
\end{bmatrix}
Ανταλλοίωτο (contravariant) Διάνυσμα
όπου:
- το ροζ 0
είναι η Επίκενη (Null) Διάσταση
- τα ερυθρά
 x,y,z
είναι οι 3 διαστάσεις του γνωστού Χώρου
- το κυανό t
είναι ο γνωστός Χρόνος
     
          και

 \vec{r} = 
\begin{bmatrix} 
\color{Magenta}{0} & \color{Red}{-x} & \color{Red}{-y} & \color{Red}{-z} & \color{Blue}{+t} 
\end{bmatrix}
Συναλλοίωτο (covariant) Διάνυσμα


         β) Η μήτρα Απειροστής Στροφής είναι:


\mathcal R ({\color{Magenta}{\chi}}, {\color{Cyan}{\chi_t}}, {\color{Red}{\theta}}, {\color{Blue}{\phi}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z} & \color{Cyan}{+\chi_t} \\
\color{Magenta}{+\chi_x} & 0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y} & \color{Blue}{+\phi_x} \\
\color{Magenta}{+\chi_y} &\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x} & \color{Blue}{+\phi_y} \\
\color{Magenta}{+\chi_z} &\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x}  & 0  & \color{Blue}{+\phi_z} \\
\color{Cyan}{-\chi_t} & \color{Blue}{-\phi_x} & \color{Blue}{-\phi_y} & \color{Blue}{-\phi_z} & 0  
\end{bmatrix}
όπου:
χ, θ και φ οι συντελεστές του μετασχηματισμού στροφής
δηλ.
χ  = οι γωνίες αντιστροφής 
μεταξύ των αξόνων του Χώρου
χt = η γωνία αντιστροφής μεταξύ ενός άξονα του Χώρου
και του άξονα του Χρόνου

θ = οι γωνίες περιστροφής μεταξύ των αξόνων του Χώρου
φ = οι γωνίες περιστροφής μεταξύ ενός άξονα του Χώρου
και του άξονα του Χρόνου


Το γεγονός ότι ο Πραγματικός Χωρόχρονος
είναι πεντα-διάστατος anti-Sitter (AdS) είναι πλέον δεδομένο.

Μήπως, όμως, ισχύει το ίδιο και για τον Φανταστικό Χωροχρόνο?
Στην εργασία τους (2013), που έχουμε ήδη προαναφέρει στο Μέρος 24,
οι φυσικοί Smolin, Amelino, Freidel το έχουν ήδη προαναγγείλει.


Phase-Space-01-goog.jpg
Στο δεξιό σχήμα
αναπαρίσταται ο συνήθης Πραγματικός Χωρόχρονος
που καμπυλώνεται από ένα Σώμα μάζας (m)
Στο αριστερό σχήμα
αναπαρίσταται ο συμπληρωματικός Φανταστικός Χωρόχρονος
που επίσης καμπυλώνεται (από ένα Κύμα)

Αλλά, και χωρίς την δική τους επιβεβαίωση,
ο καθένας μπορεί να συμπεράνει
ότι ουσιαστικά οι διαστάσεις x, y, z, t και ix, iy, iz, it
είναι απλά τα πραγματικά και τα φανταστικά μέλη
μιγαδικών αριθμών.

 \begin{matrix} 
\bar{x} = {\color{Red}{x}} + i{\color{Brown}{x}}\\ 
\bar{y} = {\color{Red}{y}} + i{\color{Brown}{y}} \\
\bar{z} = {\color{Red}{z}} + i{\color{Brown}{z}}\\
\bar{t} = {\color{Blue}{t}} + i{\color{Cyan}{t}}
\end{matrix}

Επομένως, ότι ισχύει για το ένα μέλος θα ισχύει και για το άλλο.
Άρα, αν τα πραγματικά μέλη συνιστούν ένα είδος Χώρου
τότε το ίδιο θα συμβαίνει και με τα φανταστικά.

Όμως, για να υπάρχει συμμετρία μεταξύ των δύο αυτών Χωροχρόνων
χρειαζόμαστε και εδώ μία νέα διάσταση ώστε να γίνει και αυτός πεντα-διάσταστος

Όπως, ακριβώς, στον Πραγματικό Χωρόχρονο υπάρχει
η Πραγματική Επίκενη (null) Διάσταση (0)
(που παρουσιάστηκε στο Μέρος Ο18-10
έτσι και στον Φανταστικό Χωρόχρονο, είναι απόλυτα εύλογο
να υπάρχει, αντίστοιχα, η Φανταστική Επίκενη (Null) Διάσταση (i0)

Οπότε, ο πίνακας των μιγαδικών αριθμών (διαστάσεων) που παραθέσαμε
παραπάνω, γίνεται:

 
\begin{matrix} 
\bar{0} = {\color{Magenta}{0}} + i \color{Magenta}{0}\\ 
\bar{x} = {\color{Red}{x}} + i \color{Brown}{x} \\
\bar{x} = {\color{Red}{y}} + i \color{Brown}{y} \\
\bar{x} = {\color{Red}{z}} + i \color{Brown}{z} \\ 
\bar{x} = {\color{Blue}{t}} + i \color{Green}{t}
\end{matrix}


Επομένως, το μόνο που απομένει
είναι πλέον να γράψουμε τις αντίστοιχες μαθηματικές σχέσεις
για τον Φανταστικό Χώρο

Έτσι, λοιπόν,
ο Φανταστικός τετρα-διάστατος Χωρόχρονος Minkowski
αναβαθμίζεται σε
πεντα-διάστατο 5D-Φανταστικό Χωρόχρονο anti-Sitter
(τον παρουσιάσαμε, ήδη, στο Μέρος 25)

Αντίστοιχα αναβαθμίζονται επίσης:
     α) Τα δύο αντίστοιχα διανύσματα Μετατόπισης
         (ή αλλιώς διανύσματα Θέσης) είναι:

 \vec{r} = 
\begin{bmatrix} 
\color{Magenta}{i0} \\
\color{Brown}{+ix} \\ 
\color{Brown}{+iy} \\ 
\color{Brown}{+iz} \\
\color{Green}{-it} 
\end{bmatrix}
Ανταλλοίωτο (contravariant) Διάνυσμα
όπου:
τα καφετί x,y,z
είναι τα μήκη κύματος στους 3 άξονες
το πράσινο t
δηλώνει την περίοδο του κύματος

           και
 \vec{r} = 
\begin{bmatrix} 
\color{Magenta}{i0} &
\color{Brown}{-ix} &
\color{Brown}{-iy} &
\color{Brown}{-iz} &
\color{Green}{+it} 
\end{bmatrix}
Συναλλοίωτο (covariant) Διάνυσμα


          β) Η αντίστοιχη μήτρα Απειροστής Στροφής είναι:


\mathcal R ({\color{Magenta}{i\chi}}, {\color{Cyan}{i\chi_t}}, {\color{Brown}{i\theta}}, {\color{Green}{i\phi}})= 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-i\chi_x} & \color{Magenta}{-i\chi_y} & \color{Magenta}{-i\chi_z} & \color{Cyan}{+i\chi_t} \\
\color{Magenta}{+i\chi_x} & 0 & \color{Brown}{+i\theta_z} & \color{Brown}{-i\theta_y} & \color{Green}{+i\phi_x} \\
\color{Magenta}{+i\chi_y} &\color{Brown}{-i\theta_z} & 0 & \color{Brown}{+i\theta_x} & \color{Green}{+i\phi_y} \\
\color{Magenta}{+i\chi_z} &\color{Brown}{+i\theta_y} & \color{Brown}{-i\theta_x}  & 0  & \color{Green}{+i\phi_z} \\
\color{Cyan}{-i\chi_t} & \color{Green}{-i\phi_x} & \color{Green}{-i\phi_y} & \color{Green}{-i\phi_z} & 0  
\end{bmatrix}
όπου:
χ, θ και φ οι συντελεστές του μετασχηματισμού στροφής
δηλ.
χ  = οι γωνίες αντιστροφής 
μεταξύ των αξόνων του Χώρου
χt = η γωνία αντιστροφής μεταξύ ενός άξονα του Χώρου
και του άξονα του Χρόνου

θ = οι γωνίες περιστροφής μεταξύ των αξόνων του Χώρου
φ = οι γωνίες περιστροφής μεταξύ ενός άξονα του Χώρου
και του άξονα του Χρόνου

Επομένως, συνοψίζοντας,
καταλήγουμε στην συνύπαρξη, όχι πλέον δύο τετρα-διάστατων Χωροχρόνων,
αλλά δύο πεντα-διάστατων (ενός Πραγματικού και ενός Φανταστικού)
και επομένως οδηγούμαστε σε ύπαρξη 10 διαστάσεων.

-------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------

Δεν υπάρχουν σχόλια: