Τρίτη, 5 Ιουλίου 2016

Electromagnetism a la Mendeleev - O32

Ηλεκτρομαγνητισμός αλά Mendeleev
-Ο32-


Χωροχρονική Ενοποίηση
(γ' μέρος)

--------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------

Υπενθυμίζουμε το Διάνυσμα Μετατόπισης (ή αλλιώς Θέσης)
του Ενιαίου 11-διάστατου Χωρόχρονου

 \vec{r} = 
\begin{bmatrix} 
\color{Magenta}{0}\\ 
\color{Red}{+x} \\ \color{Red}{+y} \\ \color{Red}{+z} \\ \color{Blue}{-t} \\
\color{Cyan}{0} \\
\color{Green}{+it} \\ \color{Brown}{-iz} \\ \color{Brown}{-iy} \\ \color{Brown}{-ix} \\ 
\color{Magenta}{i0}
\end{bmatrix}
Ανταλλοίωτο (contravariant) Διάνυσμα Θέσης
όπου:
το ροζ (0) = η Επίκενη Διάσταση του Πραγματικού Χώρου
τα ερυθρά (x, y, z) = οι 3 γνωστές Διαστάσεις του Πραγματικού Χώρου
το γαλάζιο (t) = η Διάσταση του Πραγματικού Χρόνου
το κυανό (0) = η Επίκενη Διάσταση του Πραγματικού Χρόνου
το πράσινο (it) = η Διάσταση του Φανταστικού Χρόνου
(ή ισοδύναμα, η αντίστροφη συχνότητα, ή η Περίοδος Κύματος)
τα καφετί (iz, iy, ix) οι Διαστάσεις του Φανταστικού Χώρου
(ή ισοδύναμα, οι αντίστροφοι κυματάριθμοι, ή τα μήκη Κύματος)
το ροζ (i0) = η Επίκενη Διάσταση του Φανταστικού Χώρου

Όπως, είπαμε και στο  προηγούμενο μέρος
η παντοδύναμη Συμμετρία επιβάλλει
ότι και το συναλλοίωτο Διάνυσμα Θέσης
με το οποίο ένας άλλος Παρατηρητής προσδιορίζει
μία θέση ενός σώματος στο Χώρο,
να έχει ίδιο αριθμό συνιστωσών (δηλ. διαστάσεων)

Οπότε, αφού το ανταλλοίωτο διάνυσμα έχει 11 στοιχεία-σειρές,
ομοίως, και το συναλλοίωτο πρέπει να έχει, αντίστοιχα 11 στοιχεία-στήλες

 \vec{r} = 
\begin{bmatrix} 
\color{Magenta}{0} & 
\color{Red}{-x} & \color{Red}{-y} & \color{Red}{-z} & \color{Blue}{+t} &
\cdot &
\color{Green}{\cdot} & \color{Brown}{\cdots} & 
\color{Magenta}{\cdot}
\end{bmatrix}
Συναλλοίωτο (covariant) Διάνυσμα Θέσης
Όπως, παρατηρούμε
το ένα τμήμα του είναι εύλογο,
όμως το δεύτερο τμήμα του
"χάνεται" στην "σκοτεινιά" της "άλλης" πλευράς του Ενιαίου Χωρόχρονου.

Αυτό είναι κακό βέβαια, από την άποψη
ότι μας απομακρύνει από την τελική εικόνα
αλλά από την άλλη, όμως,
μας δίνει την δυνατότητα να κρυφοκοιτάξουμε στην "Σκοτεινή Πλευρά"!!

Η συμπλήρωση, βέβαια, είναι απλούστατη
και γίνεται ακολουθώντας την συμμετρία
Οπότε έχουμε:

 \vec{r} = 
\begin{bmatrix} 
\color{Magenta} {0} & 
\color{Red} {-x} & \color{Red} {-y} & \color{Red} {-z} & \color{Blue} {+t} &
\color{Cyan} {0} & 
\color{Green}{-it} & \color{Brown}{+iz} & \color{Brown}{+iy} & \color{Brown}{+ix} \; \;
\color{Magenta} {i0}
\end{bmatrix}
Συναλλοίωτο (covariant) Διάνυσμα Θέσης

Άμεσο επακόλουθο της προηγούμενης επέκτασης
του συναλλοίωτου διανύσματος σε 11 στήλες
είναι η αντίστοιχη επέκταση της Μήτρας Απειροστής Στροφής σε 11x11
δηλ. η επιπρόσθεση των γωνιών του μετασχηματισμού
που αφορούν την "Σκοτεινή Πλευρά του Χωρόχρονου"



\mathcal R = 
\begin{bmatrix}
0 & \color{Magenta}{-\chi_x} & \color{Magenta}{-\chi_y} & \color{Magenta}{-\chi_z}  & \color{Cyan}{+\psi} 
& \cdot & \color{Cyan}{\cdot} & \color{Magenta}{\cdots} & \cdot 
\\
\color{Magenta}{+\chi_x} & 0 & \color{Red}{+\theta_z} & \color{Red}{-\theta_y}  & \color{Blue}{+\phi_x} 
& \cdot & \color{Green}{\cdot} & \color{Brown}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{+\chi_y} &\color{Red}{-\theta_z} & 0 & \color{Red}{+\theta_x}  & \color{Blue}{+\phi_y} 
& \cdot & \color{Green}{\cdot} & \color{Brown}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{+\chi_z} &\color{Red}{+\theta_y} & \color{Red}{-\theta_x} &  0 & \color{Blue}{+\phi_z} 
& \cdot & \color{Green}{\cdot} & \color{Brown}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Cyan}{-\psi} & \color{Blue}{-\phi_x} & \color{Blue}{-\phi_y} & \color{Blue}{-\phi_z} & 0 
& \cdot & \cdot & \color{Green}{\cdots} & \cdot
\\
0 & 0  & 0  & 0 & 0 
& \cdot & \cdot & \cdots & \cdot
\\
\color{Cyan}{+ i\psi} & \color{Green}{+i\phi_x} & \color{Green}{+i\phi_y} & \color{Green}{+i\phi_z} & 0 
& \cdot & \cdot & \color{Blue}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{-i\chi_z} & \color{Brown}{+i\theta_y} & \color{Brown}{-i\theta_x} & 0 & \color{Green}{-i\phi_z} 
& \cdot & \color{Blue}{\cdot} & \color{Red}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{-i\chi_y} & \color{Brown}{-i\theta_z} & 0 & \color{Brown}{+i\theta_x} & \color{Green}{-i\phi_y} 
& \cdot & \color{Blue}{\cdot} & \color{Red}{\cdots} & \cdot
\\
\color{Magenta}{-i\chi_x} & 0 & \color{Brown}{+i \theta_z} & \color{Brown}{-i \theta_y} & \color{Green}{-i\phi_x} 
& \cdot & \color{Blue}{\cdot} & \color{Red}{\cdots} & \cdot
\\
0 & \color{Magenta}{+i\chi_x} & \color{Magenta}{+i\chi_y} & \color{Magenta}{+i\chi_z}  & \color{Cyan}{-i\psi}
& \cdot & \color{Cyan}{\cdot} & \color{Magenta}{\cdots} & \cdot
\\
\end{bmatrix}
Μήτρα Απειροστής Στροφής
που περιλαμβάνει
a) Πραγματικούς Μετασχηματισμούς
- Χωρική Περιστροφή = ερυθρές γωνίες (θ)
- Χρονική Προώθηση = γαλάζιες γωνίες (φ)
- Χωρική Αντιστροφή = ροζ γωνίες (χ), και
- Χρονική Αναστροφή = κυανή γωνία (ψ)

β) Φανταστικούς Μετασχηματισμούς
- Χωρική Περιστροφή = καφετί γωνίες (iθ)
- Χρονική Προώθηση = γαλάζιες γωνίες (iφ)
- Χωρική Αντιστροφή = ροζ γωνίες (iχ), και
- Χρονική Αναστροφή = κυανή γωνία (iψ)

Πριν όμως μπούμε στην "Σκοτεινή Πλευρά"
ας οργανώσουμε καλύτερα την γνωστή δική μας "Φωτεινή Πλευρά"
ώστε να κατανοήσουμε καλύτερα τις διαφορές και ομοιότητές τους

Η συνέχεια στο επόμενο....

-------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------

Δεν υπάρχουν σχόλια: