Τετάρτη, 28 Σεπτεμβρίου 2016

Electromagnetism a la Mendeleev - A-04

Ηλεκτρομαγνητισμός αλά Mendeleev
-A-04-



Υπερβολοειδή

--------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------

Α) Όπως αναφέραμε σε προηγούμενο μέρος,
στον δισ-διάστατο 2D-Χώρο υπάρχει,
μία θεμελιώδης καμπύλη, η Έλλειψη
(που είναι, απλά, ένας γενικευμένος Κύκλος)

Στο σχήμα βλέπουμε
ότι
α = το σημείο που η Έλλειψη τέμνει την Διάσταση (x)
b = το σημείο που η Έλλειψη τέμνει την Διάσταση (y)

Η εξίσωση που περιγράφει την Έλλειψη, στην Κλασσική Γεωμετρία είναι:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1
Παρατηρούμε ότι
και οι δύο όροι που περιέχουν τους άξονες
είναι θετικοί (+)

Επίσης, η εξίσωση της Έλλειψης από την Πολυδιαστατική σκοπιά, γράφεται:

\frac{\color{Red}x^2}{\color{Red}a^2} + \frac {\color{Red}y^2}{\color{Red}b^2} = 1

(Υπενθυμίζουμε ότι οι ερυθρές Διαστάσεις (x, y, z) είναι
οι συνήθεις γνωστές πραγματικές διαστάσεις
του Πραγματικού Χώρου της Υπαρκτής Πραγματικότητας).

Τώρα η γενίκευση της Έλλειψης,
στον τρισ-διάστατο 3D-Χώρο,
είναι το Ελλειψοειδές.

Η εξίσωση που περιγράφει το Ελλειψοειδές, στην Κλασσική Γεωμετρία είναι:

 {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1


Επίσης, η εξίσωση του Ελλειψοειδούς από την Πολυδιαστατική σκοπιά, γράφεται:

\frac{\color{Red}x^2}{\color{Red}a^2} + \frac {\color{Red}y^2}{\color{Red}b^2} + \frac {\color{Red}z^2}{\color{Red}c^2} = 1


----------------------------------
Β) Συνεχίζουμε τώρα με μία άλλη θεμελιώδη καμπύλη, την Υπερβολή.

CurvesHyperbola-wik.png
Στο σχήμα παρατηρούμε
ότι η Υπερβολή
τέμνει μόνον τον άξονα x (σε δύο σημεία)
αλλά δεν τέμνει σε κανένα σημείο τον άξονα y.

Η εξίσωση που περιγράφει την Υπερβολή, στην Κλασσική Γεωμετρία είναι:

\frac{x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2} = 1
Παρατηρούμε ότι η διαφορά
με την εξίσωση που περιγράφει την Έλλειψη
είναι το σημείο "μείον" (-)
του όρου που περιέχει τον άξονα y
δεν τέμνει την καμπύλη
Τώρα, η εξίσωση της Υπερβολής
από την Πολυδιαστατική σκοπιά, γράφεται:

\frac{\color{Red}x^2}{\color{Red}a^2} + \frac {\color{Brown}y^2}{\color{Brown}b^2} = 1

[Η εξίσωση αυτή προκύπτει από την κλασσική της μορφή
με χρήση της ταυτότητας i= -1 οπότε -y 2y2]

Υπενθυμίζουμε ότι οι καστανόχροες Διαστάσεις (x, y, z) είναι
οι πρόσθετες φανταστικές διαστάσεις
(του Φανταστικού Χώρου της Εικονικής Πραγματικότητας).

Ακριβώς αντίστοιχα με την Έλλειψη και το Ελλειψοειδές έχουμε:
ότι η γενίκευση της Υπεροβολής,
στον τρισ-διάστατο 3D-Χώρο,
είναι (όχι ένα αλλά δύο) τα Υπεροβολοειδή.

Βα) Το Μονόχωνο Υπερβολοειδές είναι:




Η εξίσωση που περιγράφει το Μονόχωνο Υπερβολοειδές,
στην Κλασσική Γεωμετρία
 είναι:

\frac{x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} = 1


Επίσης, η εξίσωση του Μονόχωνου Υπερβολοειδούς
από την Πολυδιαστατική σκοπιά, γράφεται:

\frac{\color{Red}x^2}{\color{Red}a^2} + \frac {\color{Brown}y^2}{\color{Brown}b^2} + \frac {\color{Red}z^2}{\color{Red}c^2} = 1

------
Ββ) Το Δίχωνο Υπερβολοειδές είναι:


Η εξίσωση που περιγράφει το Δίχωνο Υπερβολοειδές,
στην Κλασσική Γεωμετρία
 είναι:


\frac{x^2}{a^2} - \frac {y^2}{b^2} - \frac {z^2}{c^2} = 1


Επίσης, η εξίσωση του Δίχωνου Υπερβολοειδούς
από την Πολυδιαστατική σκοπιά, γράφεται:

\frac{\color{Red}x^2}{\color{Red}a^2} + \frac {\color{Brown}y^2}{\color{Brown}b^2} + \frac {\color{Brown}z^2}{\color{Brown}c^2} = 1

--------------------------------
Ίσως βαρετά όλα αυτά
αλλά δείχνουν τον τρόπο που οργανώνονται αυτά
τα πολύ θεμελιώδη σχήματα της Γεωμετρίας
στον Ενιαίο 11D-Χωρόχρονο
ενώ οι άμεσες επιπτώσεις στον Άνθρωπο
θα αναλυθούν στο επόμενο μέρος


--------------------------------
ΣΗΜΕΙΩΣΗ:
Υπενθυμίζουμε ότι
όπως έχουμε αναφέρει στο Μέρος Ο37 της Εισαγωγής
το διάνυσμα θέσης του 11-διάστατου Ενιαίου Χώρου
(της Επηυξημένης Πραγματικότητας) είναι:

 \vec{r} = 
\begin{bmatrix} 
\color{Red}{0}\\ 
\color{Red}{+x} \\ \color{Red}{+y} \\ \color{Red}{+z} \\ 
\color{Blue}{-t} \\
\color{Blue}{0} \\
\color{Green}{+it} \\ 
\color{Brown}{-iz} \\ \color{Brown}{-iy} \\ \color{Brown}{-ix} \\ 
\color{Brown}{i0}
\end{bmatrix}
Ανταλλοίωτο (contravariant) Διάνυσμα Θέσης
όπου:
το ερυθρό (0) = η Επίκενη (null) Διάσταση του Πραγματικού Χώρου
τα ερυθρά (x, y, z) = οι 3 γνωστές Διαστάσεις του Πραγματικού Χώρου
το κυανό (t) = η Διάσταση του Πραγματικού Χρόνου
το κυανό (0) = η Επίκενη 
(null) Διάσταση του Πραγματικού Χρόνου
το πράσινο (it) = η Διάσταση του Φανταστικού Χρόνου
(ή ισοδύναμα, η αντίστροφη συχνότητα, ή η Περίοδος Κύματος)
τα καστανόχροα (iz, iy, ix) οι Διαστάσεις του Φανταστικού Χώρου
(ή ισοδύναμα, οι αντίστροφοι κυματάριθμοι, ή τα μήκη Κύματος)
το καστανόχροο (i0) = η Επίκενη 
(null) Διάσταση του Φανταστικού Χώρου
-------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------

Δεν υπάρχουν σχόλια: