IonnKorr: Electromagnetism a la Mendeleev

Ηλεκτρομαγνητισμός αλά Mendeleev
-C-13-

C. Ηλεκτροδυναμική
Παράδειγμα: Τρισ-διάστατος Χώρος (1)

--------------------------------------------------------------------

Εδώ βρίσκουμε τα περιεχόμενα της θεματικής ενότητας

--------------------------------------------------------------------

Στο προηγούμενο Μέρος C-12 είχαμε αφήσει τους
Δισδιάστατους Θεωρητικούς Φυσικούς
να "κλαίνε" και να "οδύρονται"
καθώς τα νεοεμφανισθέντα "Επαγωγικά Φαινόμενα"
κατέστρεφαν την Οικουμενική Συμμετρία (global symmetry)
οπότε δεν διασφαλίζονταν η Αναλλοιότητα των Φυσικών Νόμων

Η απελπισία και η απόγνωση
των Δισδιάστατων Θεωρητικών Φυσικών
(όταν συνειδητοποίησαν
την πλήρη κατάρρευση
του Δισδιάστατου Φυσικού Μοντέλου)
ήταν απερίγραπτη

Ας θυμηθούμε πως είχε η κατάσταση των Φυσικών Νόμων
του "Δισδιάστατου Φυσικού Μοντέλου"
μετά την επιπρόσθεση όρων από τα πειράματα
που περιείχαν την "καταραμένη" παράμετρο (z)
που κατέστρεφε ολοκληρωτικά την Οικουμενική Συμμετρία (global symmetry)

${\begin{array}{l}{\vec {E}}=-{\color {red}{\operatorname {grad} }}\;V\\E_{z}=-{\frac {\partial }{\partial z}}V\\B_{z}={\color {red}{\operatorname {curl} }}\;{\vec {A}}\\B_{x}={\color {red}{\frac {\partial }{\partial y}}}A_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}A_{y}\\B_{y}={\frac {\partial }{\partial z}}A_{x}-{\color {red}{\frac {\partial }{\partial x}}}A_{z}\\Q={\color {red}{\operatorname {div} }}\;{\vec {D}}+{\frac {\partial }{\partial z}}D_{z}\\J_{z}={\color {red}{\operatorname {curl} }}\;{\vec {H}}\\J_{x}={\color {red}{\frac {\partial }{\partial y}}}H_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}H_{y}\\J_{y}={\frac {\partial }{\partial z}}H_{x}-{\color {red}{\frac {\partial }{\partial x}}}H_{z}\\\end{array}}$

Προσθήκη λεζάντας

Η κατάσταση είναι όμοια με αυτή που περιγράφηκε για την Κίνηση
στο Μέρος C-06

Μόνη λύση, λοιπόν, στο αδιέξοδο
ήταν η αναβάθμιση της "καταραμένης" παραμέτρου (z)
σε Διάσταση
ώστε να απορροφηθεί από γενικευμένους Διαφορικούς Τελεστές
και έτσι να "εξοβελισθεί" η παρουσία της από τις εξισώσεις του Μοντέλου

Βέβαια, η αναβάθμιση μιας παραμέτρου σε Διάσταση
δεν ήταν κάτι που θα μπορούσε εύκολα να "καταποθεί αμάσητο"
καθώς σήμαινε
την αποδοχή εκ μέρους των Δισδιάστατων Ανθρώπων
του γεγονότος ότι ο Χώρος τους δεν ήταν
Δισ-διάστατος όπως, τους βεβαίωνε η αισθητηριακή εμπειρία τους
αλλά
Τρισ-διάστατος όπως, τους υποδείκνυαν κάποιες μαθηματικές εξισώσεις (!)
Ε ... και αυτό ήταν μία βαθεία προκατάληψη
που δεν μπορούσε, εύκολα, να υπερνικηθεί.

Μόνο αν κάποιος Τρισδιάστατος Άνθρωπος
"ξεκολλούσε" έναν Δισδιάστατο
από τον Δισδιάστατο Χώρο του
θα μπορούσε ο αυτός
αποκτώντας τρισδιάστατη αισθητηριακή εμπειρία
να πεισθεί για την ανάγκη
επιπρόσθεσης μίας νέας Διάστασης

Πολλοί θεώρησαν ότι πίσω από την αύξηση των Διαστάσεων
κρύβεται κάποιο είδος συνωμοσίας.

Ωστόσο, καθώς δεν υπήρχε άλλη διέξοδος
οι Θεωρητικοί Φυσικοί
προχώρησαν στην κατασκευή του νέου
"Τρισδιάστατου Φυσικού Μοντέλου"

Έχουμε λοιπόν
σε αντιδιαστολή με όσα αναφέρθηκαν στο Μέρος C-07

1) Ηλεκτρικό Πεδίο
α) Παύει πλέον η διαφορετικότητα μεταξύ του
"κανονικού Ηλεκτρικού Πεδίου" και "κατακόρυφου Ηλεκτρικού Πεδίου"
καθώς η Ηλεκτρική Ένταση αναβαθμίζεται, πλέον,
σε ένα συναλλοίωτο 3-διάνυσμα με μήτρα (1x3)

${\vec {E}}={\begin{bmatrix}E_{x}&E_{y}&E_{z}\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

β) Το Ηλεκτρικό Δυναμικό παραμένει ως έχει
δηλ. βαθμωτό με μήτρα (1x1)

$V={\begin{bmatrix}V\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

2) Μαγνητικό Πεδίο
α) Παύει πλέον η διαφορετικότητα μεταξύ του
"κανονικού Μαγνητικού Πεδίου" και του
"διαμήκους" /"εγκάρσιου" Μαγνητικού Πεδίου
καθώς η Μαγνητική Ένταση αναβαθμίζεται, πλέον,
σε ένα 3-διάνυσμα με μήτρα (3x1)

${\vec {B}}={\begin{bmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

β) Το Μαγνητικό Δυναμικό αναβαθμίζεται, πλέον,
σε ένα συναλλοίωτο 3-διάνυσμα με μήτρα (1x3)

${\vec {A}}={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{y}\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

3) Ηλεκτρικό Φορτίο
α) Η Φορτιακή Πυκνότητα παραμένει ως έχει
δηλ. βαθμωτό με μήτρα (1x1)

$Q={\begin{bmatrix}Q\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

β) Το Φορτιακό Δυναμικό αναβαθμίζεται, πλέον,
σε ένα 3-διάνυσμα με μήτρα (3x1)

${\vec {D}}={\begin{bmatrix}D_{x}\\D_{y}\\D_{z}\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

4) Ηλεκτρικό Ρεύμα
α) Παύει πλέον η διαφορετικότητα μεταξύ του
"κανονικού Ηλεκτρικού Ρεύματος" και του
"διαμήκους" /"εγκάρσιου" Ηλεκτρικού Ρεύματος
καθώς η Ρευματική Ένταση αναβαθμίζεται, πλέον,
σε ένα 3-διάνυσμα με μήτρα (3x1)

${\vec {J}}={\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

β) Το Ρευματικό Δυναμικό αναβαθμίζεται, πλέον,
σε ένα 3-διάνυσμα με μήτρα (3x1)

${\vec {H}}={\begin{bmatrix}H_{x}&H_{y}&H_{z}\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

-------
Σημαντικό ρόλο στην διατύπωση των εξισώσεων
έπαιξε η "διαστατική γενίκευση" του τελεστή "Ανάδελτα"

${\color {red}{\vec {\nabla }}}={\begin{bmatrix}{\color {red}{\frac {\partial }{\partial x}}}\\{\color {red}{\frac {\partial }{\partial y}}}\\{\color {red}{\frac {\partial }{\partial z}}}\\\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

Οπότε, με την βοήθεια αυτού του τελεστή,
οι εννέα εξισώσεις που αναφέρονται στην αρχή
μπορούν να γραφούν:

${\begin{array}{l}{\vec {E}}=-{\color {red}{\vec {\nabla }}}\;\cdot V\\{\vec {B}}={\color {red}{\vec {\nabla }}}\;\times {\vec {A}}\\Q={\color {red}{\vec {\nabla }}}\;{\boldsymbol {\cdot }}\;{\vec {D}}\\{\vec {J}}={\color {red}{\vec {\nabla }}}\;\times {\vec {H}}\\\end{array}}$

Προσθήκη λεζάντας

Και τελικά,
κάνοντας χρήση των "διάσημων" "Διαφορικών Τελεστών"
(που γενικεύθηκαν, αντίστοιχα, ώστε να προσαρμοστούν,
στην νέα δισ-διάστατη πραγματικότητα)
έχουμε:

${\begin{array}{l}{\vec {E}}=-{\color {red}{\operatorname {grad} }}\;V\\{\vec {B}}={\color {red}{\operatorname {curl} }}\;{\vec {A}}\\Q={\color {red}{\operatorname {div} }}\;{\vec {D}}\\{\vec {J}}={\color {red}{\operatorname {curl} }}\;{\vec {H}}\\\end{array}}$

Προσθήκη λεζάντας

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι ακριβώς αντίστοιχες
με τις εξισώσεις των προηγούμενων μοντέλων
α) "Δισδιάστατο Φυσικό Μοντέλο" (αναφέρθηκε στο Μέρος C-11)
β) "Μονοδιάστατο Φυσικό Μοντέλο" (αναφέρθηκε στο Μέρος C-07)
και συναποτελούν το "Δισδιάστατο Φυσικό Μοντέλο"

Το "Τρισδιάστατο Φυσικό Μοντέλο", λοιπόν, λειτουργεί θαυμάσια
καθόσον διαθέτει Οικουμενική Συμμετρία (global symmetry)
οπότε διασφαλίζει την Αναλλοιότητα των Φυσικών Νόμων
και επομένως
όλοι οι Τρισδιάστατοι Παρατηρητές
λαμβάνουν, ακριβώς, τα ίδια αποτελέσματα,
σε οποιοδήποτε σημείο του Τρισδιάστατου Σύμπαντός τους,
κι αν βρίσκονται.