3D-Ευκλείδειος
&
4D-Χωρόχρονος
(Μέρος 1)
βλέπεις πολύ σημαντικές ερωτήσεις
===============
Ο Xρόνος συμπεριφέρεται ως μια τέταρτη διάσταση
όμοια με τις χωρικές x,y,z ή είναι άλλης υφής;
Δηλαδή,
ο Xωρόχρονος είναι όπως ο τετραδιάστατος Ευκλείδειος (R^4)
όπου έχω ένα τετραδιάστατο διάνυσμα (x,y,z,t);
ή συμβαίνει κάτι άλλο?
============
Είναι πολύ σημαντικό
και για την Κβαντομηχανική αλλά και για όλη την Φυσική γενικότερα
να γνωρίζουμε την συμπεριφορά του Χρόνου.
=============
Για να προσπαθήσουμε να το αναλύσουμε
κάπως
Ας δούμε πρώτα ένα απλό παράδειγμα:
Την Κίνηση της Γης περί τον Ήλιο
Αν θέλουμε μια απεικόνιση σε δισ-διάστατο χώρο τότε το σχήμα είναι αυτό:
Αν θέλουμε να στοιβάξουμε τις εικόνες αυτές στον τρισ-διάστατο Χώρο
τότε το σχήμα είναι αυτό
Τέλος
Αν θέλουμε να δούμε το φαινόμενο
ως τετρα-διάστατοι παρατηρητές
τότε το σχήμα είναι αυτό
Πριν ασχοληθούμε με τον 4D-Χωρόχρονο
ας ρίξουμε μια ματιά στον 2D-Χώρο (δηλ. στο επίπεδο)
=============
Κάθε Χώρος (ανεξαρτήτως διάστασης)
καθορίζεται (ως προς το ποιές ιδιότητες έχει)
από μία συνάρτηση που λέγεται Μετρική (s)
και η οποία απλοϊκά
είναι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων του.
Η μετρική σχετίζεται πολύ στενά με το Πυθαγόρειο Θεώρημα
Ας δούμε το σχήμα.
Οι Μαθηματικοί Χώροι μπορούν να έχουν
ποικίλες μετρικές διαφόρων μορφών και παραλλαγών
Όμως, εμάς,
μας απασχολεί η μετρική του δικού μας
του Γεωμετρικού Χώρου
μέσα στον οποίο είναι το Σύμπαν
Το τι μετρική έχει ο Γεωμετρικός Χώρος
δεν το ξέρουμε.
Εξαρτάται από το αν είναι συμπαγής
ή έχει "τρύπες"
όπως π.χ. στο σχήμα της ανάρτησης
Λογικά, σκεπτόμαστε
ότι ο Ύψιστος δεν θα έφτιαχνε έναν
Φυσικό Χώρο με τυχαίες τρύπες
γιατί τότε ο Άνθρωπος δεν θα μπορούσε
να φτιάξει ούτε Γεωμετρία ούτε Φυσική
ούτε Βιολογία ούτε Γεωλογία κλπ
Όμως
αυτό είναι μία εικασία.
Ποιός μπορεί να ξέρει
ποιές είναι οι βουλές του Υψίστου?
Θα μπορούσε ο Γεωμετρικός Χώρος
π.χ. να έχει ομοιόμορφες τρύπες
που να έχουν σχήμα τετραγώνου
οπότε η μετρική θα ήταν
η "κόκκινη" ή "κίτρινη" ή "γαλάζια" γραμμή
Όμως έτσι
οι έμβιοι ή άβιοι κάτοικοι του Χώρου
θα ξόδευαν περισσότερη ενέργεια
στις διαδρομές.
Με το σκεπτικό λοιπόν
ότι ο Θεός είναι τσιγκούνης
και δεν πετά την πολύτιμη Ενέργειά Του, "άσκοπα",
θεωρήσαμε ότι
ο Γεωμετρικός Χώρος δεν έχει κενά τετράγωνα
οπότε η μετρική
λογικά, πρέπει να είναι η "πράσινη" διαγώνια γραμμή.
Ο Χώρος που έχει αυτήν την "πράσινη" μετρική
λέγεται Ευκλείδειος Χώρος
και
όλη η Κλασσική Φυσική που έχουμε
στηρίζεται σε αυτή την προϋπόθεση
(δηλ "του τσιγκούνη Θεού")
και επαληθεύεται από το γεγονός ότι
η Κλασσική Τεχνολογία
(δηλ. μηχανήματα, οικήματα κλπ),
που αποτελεί προϊόν της Φυσικής μας,
υπάρχει.
Αν η μετρική μας δεν ήταν Ευκλείδεια
κανένα δόμημα ή μηχάνημα
από αυτά που βλέπουμε στον Μακρόκοσμο
δεν θα μπορούσε να κατασκευαστεί.
----
Το μεγάλο πλεονέκτημα που παρέχει
το γεγονός ότι ο Γεωμετρικός Χώρος είναι Ευκλείδειος (ℝ³)
είναι ότι
μπορείς να χρησιμοποιείς
Συστήματα Συντεταγμένων (O,x,y,z)
για να καθορίζεις αποστάσεις και άλλα Φυσικά Μεγέθη,
γενικότερα.
Αυτά δίνουν την δυνατότητα χειρισμού
με μαθηματικά,
των Φυσικών Φαινόμενων (π.χ Κίνηση, Παραμόρφωση κλπ)
και ουσιαστικά
τοποθετούν Άλγεβρα και Γεωμετρία
στα θεμέλια της Φυσικής
Έχει μεγάλη σημασία για την Φυσική
η ύπαρξη Συστημάτων Συντεταγμένων
επειδή εκεί "κατοικούν"
οι λεγόμενοι "Παρατηρητές" (έμβιοι ή άβιοι, δεν έχει σημασία)
Ένα Σύστημα Συντεταγμένων
που συνοδεύεται από Παρατηρητή
ονομάζεται "Σύστημα Αναφοράς"
Στο παραπάνω σχήμα
- στο κέντρο βρίσκεται ένα "Ακίνητο Σύστημα Αναφοράς"
ενώ
- τα άλλα δύο είναι "Κινούμενα Συστήματα Αναφοράς"
Μερικές φορές
- οι Παρατηρητές των Ακινήτων Συστημάτων
ονομάζονται "Παρατηρητές Euler-Frenet"
(π.χ. αυτοί που μελετούν την ροή του ποταμού
από την όχθη του)
ενώ
- οι Παρατηρητές των Κινούμενων Συστημάτων
ονομάζονται "Παρατηρητές Lagrange-Gauss"
(π.χ. αυτοί που μελετούν την ροή του ποταμού
πλέοντας μαζί του)
Οι ονομασίες παραπέμπουν
σε εξωτερική και εσωτερική καμπυλότητα επιφάνειας
καθώς φαίνεται ότι
υπάρχει και στην περίπτωση αυτή
ένας από τους πολλούς Δυισμούς της Φύσης
Οι φυσικοί εκμεταλλεύονται τους Δυισμούς αυτούς
για να κατανοήσουν καλύτερα την Φύση.
Ακολουθεί άλλος ένας σημαντικός Δυισμός
Eίδαμε ότι στην Φύση υπάρχει Δυισμός Παρατηρητών
Τώρα θα δούμε έναν άλλο σημαντικότερο Δυισμό
Αυτός αφορά τους δύο τρόπους
με τους οποίους ένας Παρατηρητής
μπορεί να καθορίσει ένα σημείο ενός Χώρου
(π.χ. το κέντρο βάρους ενός σώματος):
1. Ο ένας τρόπος είναι
να ορισθεί το σημείο ως τομή των εφαπτομένων
σε τρείς τεμνόμενες καμπύλες (q1, q2, q3)
(αριστερό σχήμα
με τα κίτρινα Μοναδιαία Διανύσματα)
2. Ο δεύτερος τρόπος είναι
να ορισθεί το σημείο ως τομή των καθέτων
σε τρία τεμνόμενα επίπεδα
που είναι εφαπτόμενα
στις τρείς προηγούμενες καμπύλες (q1, q2, q3)
(δεξιό σχήμα με τα γαλάζια Μοναδιαία Διανύσματα)
Είναι εντυπωσιακό ότι
όσες και Διαστάσεις να έχει ένας Χώρος
πάντα δύο είναι αυτοί οι τρόποι:
- ο πρώτος στηρίζεται στην Ιδιότητα
που ονομάζεται Εφαπτομενικότητα (tangentiality)
(που σχετίζεται με την Παραγώγιση)
- ο δεύτερος στηρίζεται στην Ιδιότητα
που ονομάζεται Καθετότητα (perpendicularity)
(που σχετίζεται με την Ολοκλήρωση)
Ίσως κάποιος παραξενεύεται με την ύπαρξη των Δυισμών
Όμως, έτσι, είναι κατασκευασμένος ο Κόσμος
π.χ.
- Εκθέτης ( ~ Τηλεσκόπιο) vs Λογάριθμος (~ Μικροσκόπιο)
- Σωματίδιο vs Κύμα
- Συμπαθητικό vs Παρασυμπαθητικό Νευρικό Σύστημα
- Κυβέρνηση vs Αντιπολίτευση
- Αριστερά (Σοσιαλισμός) vs Δεξιά (Φιλελευθερισμός)
- Θρησκειότητα vs Αθεΐα
- θύμα vs θύτης
Ο Κόσμος μας είναι
κατασκευασμένος από την θεμελίωσή του
(από την Γεωμετρία και την Φυσική
έως την Βιολογία και την Κοινωνιολογία)
να είναι ανταγωνιστικός.
Τι να κάνουμε?
Φαίνεται ότι ο Ύψιστος μισεί τον Μονισμό.
Είδαμε λοιπόν
ότι ο Παρατηρητής σε έναν Ευκλείδειο Χώρο
έχει δύο ισοδύναμους τρόπους να περιγράψει ένα σημείο
(π.χ. το κέντρο βάρους ενός σώματος)
- τον εφαπτομενικό (με χρήση τεμνομένων καμπυλών) και
- τον καθετοτικό (με χρήση τεμνομένων επιφανειών)
Μετά είδαμε ότι
για την μαθηματική εκπροσώπηση αυτών
απαιτείται η χρήση:
- αντι-αλλοίωτων διανυσμάτων (contra-variant)
που οι συνιστώσες τους μπορούν να αναπαρασταθούν από μήτρες-στήλες
- συν-αλλοίωτων διανυσμάτων (co-variant)
που οι συνιστώσες τους μπορούν να αναπαρασταθούν από μήτρες-γραμμές
Οπότε
φτάσαμε στο πλέον στην δυνατότητα
να βρούμε αυτό που ζητούσαμε:
δηλ. την μετρική (s) του 3D-Ευκλείδειου Χώρου
Πως ?
Με το Εσωτερικό Γινόμενο
Δηλ.
Πολλαπλασιάζοντας τις covariant συνιστώσες
με τις αντίστοιχες contravariant !
Ο πολλαπλασιασμός διανυσμάτων
δεν είναι τόσο απλός
όσο ο πολλαπλασιασμός των αριθμών
Καθορίζεται από τον Λογισμό Μητρών ( ~ πινάκων)
που ο Άνθρωπος μόνο τους τελευταίους αιώνες
τον ανακάλυψε.
Ας σημειώσουμε βέβαια
ότι και ο απλός πολλαπλασιασμός
"υποκρύπτει" κάποιον αντίστοιχο δυισμό
όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα
-------------
Βάζω ένα παράδειγμα, στην μέση της εικόνας,
με αριθμούς
για να φανεί ο τρόπος που αυτός γίνεται γίνεται.
Στην ερώτηση
γιατί γίνεται ο πολλαπλασιασμός
με αυτόν τον τρόπο και όχι με κάποιους άλλους
η απάντηση είναι ότι έτσι θέλησε ο Ύψιστος.
Μέσα από πορεία αιώνων
και δοκιμάζοντας χιλιάδες αποτυχημένες παραλλαγές
οι μαθηματικοί βρήκαν ότι αυτός είναι ο σωστός τρόπος
--------------
Γνωρίζοντας λοιπόν
τον τρόπο που πολλαπλασιάζονται
οι συνιστώσες των διανυσμάτων
εύκολα βρίσκουμε
την ποθητή μετρική
s² = x² + y² +z²
Παρατηρούμε με ικανοποίηση
ότι το αποτέλεσμα δεν είναι άλλο
από το πασίγνωστο Πυθαγόρειο Θεώρημα
s² = x² + y²
που γνωρίζαμε για το δισδιάστατο Επίπεδο
γενικευμένο όμως τώρα για τρισδιάστατο Χώρο
---------------
Γνωρίζοντας αυτά
θα πάμε στο επόμενο μέρος
να δούμε
πόσο εύκολο γίνεται πλέον
το πέρασμα από τον 3D-Ευκλείδειο Χώρο
στον 4D-Χωρόχρονο
=================================
Εδώ το παράδειγμα από την Βιολογία
Μπορεί κάποιος με αρκετή φαντασία
να υποθέσει ότι η παράξενη αρμονική συνεργασία
των δύο Νευρικών Συστημάτων
Συμπαθητικού και Παρασυμπαθητικού
έχει τις "ρίζες" της
στην μαθηματική συνεργασία
contravariant και covariant περιγραφών
προκειμένου
να συνθέσουν το Εσωτερικό Γινόμενο
που οδηγεί στην εύρεση της Μετρικής
η οποία συνεργασία
περνάει από τα Μαθηματικά στην Φυσική
από εκεί στην Χημεία και στην Βιοχημεία
και τελικά καταλήγει
στην Φυσιολογία των Έμβιων Όντων.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου