Transformations (Active & Passive)

 

#Transformations

Active & Passive
Transcriptions

-------------------

Μαθηματικός  & Φυσικός & Κοινωνικός ρόλος

-----------------

Ο Δυισμός που εμφανίζεται στην Γραμματική

μεταξύ Ενεργητικής και Παθητικής Φωνής
δεν είναι 

ένα γλωσσικό χαρακτηριστικό που αφορά την Γλωσσολογία

Είναι συνέπεια
ενός πολύ βαθύτερου Δυισμού που υπάρχει στον Κόσμο

και έχει την ρίζα του

όχι μόνο στην Φυσική αλλά στην Μαθηματική "κατασκευή"

της Πραγματικότητας.

Για να μην φιλοσοφούμε, ασαφώς και ασκόπως,

ας περάσουμε κατ' ευθείαν στο "ψητό".

1. Εισαγωγή
Θεωρούμε κατ' αρχήν, έναν τρισδιάστατο Ευκλείδειο Χώρο


και δύο Συστήματα Αναφοράς, ένα για κάθε Παρατηρητή:

Κάθε Συστήματα Αναφοράς έχει την δική του Διανυσματική Βάση (basis)

Έστω μία βάση (basis) του Χώρου αυτού.
Αυτή αναπαρίσταται από μία σειρά μίας (1x3)-μήτρας

Θεωρούμε ένα τυχόν διάνυσμα του 3D-Χώρου.


Οι συνιστώσες του αναπαρίστανται από μία στήλη μίας (3x1)-μήτρας




Η ανάλυση του θεωρηθέντος διανύσματος ως προς την προαναφερθείσα βάση είναι:

ή αλλιώς, με άλλο συμβολισμό:



ή αλλιώς, αν πρόκειται για το διάνυσμα θέσης, γράφεται και ως:

2. Συστήματα Αναφοράς - Παρατηρητές
------------------------------------------------------
Μέσα στον Ευκλείδειο Χώρο υπάρχουν τα Φυσικά Συστήματα.

Εμείς, εδώ, θα εστιάσουμε την προσοχή μας
σε ένα από αυτά που αποτελείται μόνον από ένα σώμα
δηλ.
μία "μονοδιάστατη" λέμβο
που μπορεί να εκτελέσει
ένα μόνον απλούστατο Φυσικό Φαινόμενο
δηλ. να στραφεί κατά μία γωνία (θ)

Η μελέτη της λέμβου
που αντιπροσωπεύεται γεωμετρικά από το διάνυσμα (r)
γίνεται από δύο Συστήματα Αναφοράς
που εδρεύουν αντίστοιχα δύο Παρατηρητές.

- Ο (ακίνητος) "υπερ-λέμβιος" Παρατηρητής Euler - Descartes
(που βρίσκεται έξω και πάνω από την λέμβο)
- Ο (κινούμενος) "ενδο-λέμβιος" Παρατηρητής Lagrange - Frenet
(που βρίσκεται μέσα στην λέμβο και συγκεκριμένα στο ένα άκρο της)

Οι δύο παρατηρητές έλαβαν τις μετρήσεις τους
και κατέγραψαν με τα όργανα μέτρησης που διαθέτει ο καθένας τους:

α) τα μοναδιαία διανύσματα των Συστημάτων Αναφοράς τους



β) τις συνιστώσες της θέσης () της λέμβου,
σε σχέση με το κοινό τους «σύστημα συντεταγμένων» (O, x, y, z).

Αυτές αναπαρίστανται, σε μητραϊκή μορφή, από ένα διάνυσμα-στήλη δηλ. μία (2x1) μήτρα:


Στην συνέχεια, οι δύο παρατηρητές, κατασκεύασαν, από κοινού, το διάνυσμα της μετατόπισης:

Όλα αυτά αποτελούσαν μία διαδικασία ρουτίνας καθώς οι δύο παρατηρητές συμφωνούσαν πάντοτε.

Τέλος, έπεσαν για "ύπνο"
(ώστε να μην διαπιστώσουν, άσχετες με το θέμα, παρενέργειες από την επερχόμενη Επίδραση).

Ας σημειωθεί ότι ο "ύπνος" (όπως και κάθε Φυσικό Φαινόμενο σε έναν «άχρονο Χώρο»
(όπως ο εδώ θεωρούμενος)
μπορεί να διαρκεί και μόνον μία στιγμή.


3. Επίδραση
-----------------
Αιφνιδίως, την απόλυτη ηρεμία του τοπίου διαταράσσει μία Επίδραση.

Η Επίδραση αυτή μπορεί να είναι διαφόρων ειδών:
Υδροδυναμική (π.χ. ένα θαλάσσιο ρεύμα, ένα θαλάσσιο κύμα)
Αεροδυναμική (πχ. ένας άνεμος)
Στερεοδυναμική (π.χ. το κτύπημα από μία άλλη λέμβο)
Τέλος αν αντί για την λέμβο θεωρήσουμε ένα σωματίδιο τότε η Επίδραση μπορεί να είναι μία από τις τέσσερεις Θεμελιώδεις Πεδιακές Επιδράσεις (Βαρυτική, Ηλεκτρομαγνητική, Ασθενής και Ισχυρή Πυρηνική).

Το αποτέλεσμα της οποιασδήποτε Επίδρασης είναι να εξαναγκασθεί το σώμα (δηλ. η λέμβος) να εκτελέσει ένα φυσικό φαινόμενο.

Τα στοιχειώδη φυσικά φαινόμενα είναι αυτά που στην Φυσική περιγράφονται από μετασχηματισμούς όπως:
μεταφορά (translation),
στροφή (rotation),
προώθηση (boost) κ.α.).

Είναι προφανές ότι
όλα τα σύνθετα φυσικά (αλλά και βιολογικά και κοινωνικά) φαινόμενα
προέρχονται από συνδυασμούς των θεμελιωδών.

Στην περίπτωσή μας, για λόγους απλότητας
θα θεωρήσουμε ότι το φαινόμενο που προκλήθηκε ήταν απλά μία στροφή της βάρκας.

Η επίδραση αυτή κατέστρεψε, στιγμιαία, την ισορροπία του φυσικού συστήματος.
Τελικά όμως, το σύστημα βρέθηκε σε μία νέα θέση ισορροπίας (προφανώς χωρίς παρέλευση χρόνου).

Η επίδραση συνέπεσε χρονικά με τον ύπνο των παρατηρητών ώστε
κανείς δεν αντιλήφθηκε τον τρόπο δράσης της


Οι δύο παρατηρητές, αμέσως μετά την αφύπνισή τους,
διαπίστωσαν ανήσυχοι, την «νέα τάξη πραγμάτων». Είχε συμβεί ένα φαινόμενο.

Κοινή διαπίστωση τους ήταν ότι υπήρχε κάποια απροσδιόριστη αλλαγή.

Έκπληκτοι ανέκραξαν, με μια φωνή, την γνωστή ελληνική παροιμία:

«ή στραβός είναι ο γυαλός ή στραβά αρμενίζουμε».

Αμέσως, (ο Χρόνος δεν έχει σημασία στον Άχρονο Χώρο), έθεσαν σε λειτουργία τις ιδανικές μετρητικές συσκευές τους και προσδιόρισαν την παρατηρούμενη αλλαγή.

Αυτό που καταμέτρησαν ήταν οι νέες συνιστώσες της θέσης () της λέμβου,
σε σχέση με τα δικά τους
(διαφορετικά πλέον)
«συστήματα συντεταγμένων» .

Αυτές αναπαρίστανται, σε μητραϊκή μορφή, από ένα διάνυσμα-στήλη δηλ. ένα (2x1) μήτρα:

Επίσης, κατέγραψαν και την νέα βάση του Συστήματος Συντεταγμένων


Αμφότεροι διέγνωσαν, ότι ένα φαινόμενο είχε επιτελεσθεί,
και αυτό ήταν μία στροφή κατά γωνία (θ).

Αλλά εδώ έληξε και η ομοφωνία τους.

4. Άποψη Υπερλέμβιου Παρατηρητή
--------------------------------------------------
Μετά την "αφύπνιση", ο "υπερλέμβιος" Παρατηρητής Euler - Descartes",
(με δεδομένο ότι έχει την δυνατότητα σύγκρισης του δικού του ακίνητου συστήματος (A) με το "επιθαλάσσιο" σύστημα συντεταγμένων (O)),
αμέσως διαπίστωσε ότι την περιστροφή την υπέστη η λέμβος.

Επομένως, τα μοναδιαία διανύσματα δεν μεταβλήθηκαν.
Άρα,

"στραβά αρμενίζουμε"

μονολόγησε, απαντώντας στην σχετική παροιμία.

Έτσι, έγραψε την σχέση για τα μοναδιαία διανύσματα:


Στην συνέχεια υπολόγισε την γωνία (θ) της περιστροφής .

Αυτή η Χωρική Περιστροφή αναπαρίσταται από την εξής 2x2 - μήτρα (matrix):

Οπότε
προέκυψε και ο τύπος για τις συνιστώσες:

Στην συνέχεια, κατασκεύασε το νέο διάνυσμα της θέσης, 

λαμβάνοντας υπ’ όψη και την διενεργηθείσα κοινή μέτρηση των συντεταγμένων:

Οπότε, με μητραϊκό συμβολισμό, έλαβε :

Η σχέση αυτή αποκαλείται Ενεργητικός Μετασχηματισμός (active transformation).

Οπότε,
ο παρατηρητής Euler κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η λέμβος άλλαξε θέση,
δηλ. πήγε από την αρχική θέση (P) (που είχε πριν την δράση της επίδρασης),
στην νέα θέση (P') (στην οποία βρέθηκε μετά την δράση της επίδρασης).

Επεκτείνοντας τα συμπεράσματά του, ο ακίνητος παρατηρητής,
οδηγήθηκε στο συμπέρασμα ότι η επιτελεσθείσα Επίδραση
ασκήθηκε στο Υλικό Σώμα (δηλ. την λέμβο) και
το ανάγκασε να εκτελέσει το Φυσικό Φαινόμενο "Περιστροφή".

6. Άποψη Ενδολέμβιου Παρατηρητή
--------------------------------------------------
Μετά την "αφύπνιση", ο "ενδολέμβιος" Παρατηρητής Lagrange - Frenet
(καθώς (ως σημείο) δεν αντιλήφθηκε κάποια διαφορά
οπότε την νέα θέση (P') της λέμβου την είδε πανομοιότυπη
με αυτήν της παλαιάς θέσης (P) της λέμβου, πριν την Επίδραση)
κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η λέμβος δεν άλλαξε θέση, δηλ. η αρχική θέση (P)
(που είχε πριν την δράση της επίδρασης), και η νέα θέση (P')
(στην οποία βρέθηκε μετά την δράση της επίδρασης) ταυτίζονται.
Άρα,

"στραβός είναι ο γυαλός" 

μονολόγησε, απαντώντας στην σχετική παροιμία.

Έτσι, διακήρυξε αμέσως την σχέση:


Τι ήταν όμως αυτό που άλλαξε?

Για να απαντήσει σε αυτό το ερώτημα, αναγκαστικά,
υιοθέτησε την υπόθεση της «αντίστροφης περιστροφής»
του συστήματος συντεταγμένων
(δηλ. την περιστροφή του κατά την αντίθετη γωνία (-θ))

H αντίστροφη περιστροφή αναπαρίσταται από την εξής αντίστροφη 2x2 - μήτρα (matrix):

H ανάστροφη περιστροφή αναπαρίσταται από την εξής 2x2 - μήτρα (matrix):

Στην συνέχεια, κατασκεύασε το νέο διάνυσμα της μετατόπισης,
λαμβάνοντας υπ’ όψη και την διενεργηθείσα μέτρηση:

Και με μητραϊκό συμβολισμό η σχέση αυτή γράφεται:


Η σχέση αυτή αποκαλείται Παθητικός Μετασχηματισμός (Passive Transformation).

Εκτιμώντας την αλλαγή αυτή, ο κινούμενος παρατηρητής,
οδηγήθηκε στο συμπέρασμα ότι
η επιτελεσθείσα Επίδραση δεν ασκήθηκε στο σώμα (δηλ. στην λέμβο)
αλλά στο Σύστημα Συντεταγμένων και
το ανάγκασε να εκτελέσει το «γεωμετρικό φαινόμενο»: "ανάστροφη Περιστροφή".

Έτσι, οι συνιστώσες της θέσης μεταβλήθηκαν,
φαινομενικά όμως,
αφού είχαν μετρηθεί ως προς την παλαιά θέση του συστήματος συντεταγμένων.

7. Τελικό Συμπέρασμα
Τα συμπεράσματα των δύο παρατηρητών είναι εντελώς διαφορετικά.
Ο "υπερλέμβιος" Παρατηρητής Euler - Descartes θεωρεί ότι η επίδραση ασκήθηκε στο "σώμα" ( δηλ. την λέμβο) ενώ
ο "ενδολέμβιος" Παρατηρητής Παρατηρητής Lagrange - Frenet" θεωρεί ότι η επίδραση ασκήθηκε στο "Σύστημα Συντεταγμένων".

Επιπλέον,
ο "υπερλέμβιος" Παρατηρητής Euler - Descartes θεωρεί το επισυμβάν φαινόμενο ως φυσικό ενώ
ο "ενδολέμβιος" Παρατηρητής Lagrange - Frenet το θεωρεί ως γεωμετρικό.

Πλήρης διαφωνία, λοιπόν.

Ωστόσο, η διαφωνία αυτή δεν σημαίνει ότι κάποιος έχει δίκαιο και κάποιος άδικο.
Και οι δύο έχουν εφαρμόσει σωστά τους νόμους της Λογικής
και έχουν απόλυτο δίκαιο (αλλά μέσα στο σύστημα αναφοράς τους).

Επίσης,
οι χαρακτηρισμοί "κινούμενος" και "ακίνητος" παρατηρητής είναι εντελώς μεροληπτικοί και απαράδεκτοι.

Ο καθένας, από τους δύο, θεωρεί τον εαυτό του ακίνητο και τον άλλο κινούμενο
και δεν υπάρχει φυσικομαθηματικός τρόπος να βρεθεί ποιός είναι ο σωστός.

Δυστυχώς, όλα δείχνουν ότι η έννοια της Δικαιοσύνης στο Σύμπαν, στο οποίο ζούμε,
είναι απόλυτα σχετική και
εξαρτάται από το "σύστημα αναφοράς" του κρίνοντος.