IonnKorr: Spacetime-Odyssey

Παρασκευή 10 Μαΐου 2019

Spacetime-Odyssey - A-02

Spacetime Odyssey
(Οδύσσεια του Χωρόχρονου)

Μονo-διάστατος Χώρος

---------------------------------------------------------------------------------------------
Εδώ βρίσκουμε τα περιεχόμενα της σειράς: Spacetime-Odyssey

---------------------------------------------------------------------------------------------

Στον Μονο-διάστατο 1D-Χώρο
δεν υπάρχει διάκριση contravariant και covariant διανυσμάτων.

Το Διάνυσμα Θέσης
αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

$r={\begin{bmatrix}\color {Red}{x}\\\end{bmatrix}}$

where:
x = length, a dimension of Space

A. Αγχίγραμμος Χώρος (Affine Space)

Υπενθυμίζουμε ότι ο Αγχίγραμμος Χώρος
είναι ένας Χώρος που είναι εφοδιασμένος
με τον μετασχηματισμό της Απειροστής Χωρικής Μεταφοράς
(infinitesimal Space Translation transformation)

α) Ο Μετασχηματισμός της Απειροστής Χωρικής Μεταφοράς
αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

${\mathcal {T}}({\color {Red}{l}})={\begin{bmatrix}\color {Red}{l_{x}}\end{bmatrix}}$

where:
T(l) = infinitesimal Space Translation
l = infinitesimal distance of Space Translation

β) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Δυναμικής
είναι η Ορμή (P)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

$P={\begin{bmatrix}P_{x}\end{bmatrix}}$

where:
P = Linear Momentum
Px = its x-component

γ) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Ηλεκτροδυναμικής
είναι η Ρευματική Πυκνότητα (J)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

$J={\begin{bmatrix}J_{x}\end{bmatrix}}$

where:
J = Charge Density
Jx = its x-component

B. Ευκλείδειος Χώρος (Euclidean Space)
Υπενθυμίζουμε ότι ο Ευκλείδειος Χώρος είναι
ένας Αγχίγραμμος Χώρος που είναι, επιπλέον, εφοδιασμένος
και με τον μετασχηματισμό της Απειροστής Χωρικής Περιστροφής
(infinitesimal Space Rotation transformation)

α) Ο Μετασχηματισμός της Απειροστής Χωρικής Περιστροφής (R)
αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

${\mathcal {R}}({\color {Red}{\theta }})={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}$

where:
R(θ) = infinitesimal Space Rotation
θ = infinitesimal angle of Space Translation

β) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Δυναμικής
είναι η Χωρική Στροφορμή (L)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

$L={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}$

where:
L = Angular Momentum

γ) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Ηλεκτροδυναμικής
είναι η Μαγνητική Ένταση (B)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

$B={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}$