IonnKorr: Spacetime-Odyssey

Spacetime Odyssey
(Οδύσσεια του Χωρόχρονου)

Δισ-διάστατος Χώρος

---------------------------------------------------------------------------------------------
Εδώ βρίσκουμε τα περιεχόμενα της σειράς: Spacetime-Odyssey

---------------------------------------------------------------------------------------------

A. Αγχίγραμμος Χώρος (Affine Space)
Υπενθυμίζουμε ότι ο Αγχίγραμμος Χώρος
είναι ένας Χώρος που είναι εφοδιασμένος
με τον μετασχηματισμό της Απειροστής Χωρικής Μεταφοράς
(infinitesimal Space Translation transformation)

α) Το Ανταλλοίωτο (contravariant) Διάνυσμα Θέσης
αναπαρίσταται από μία 2x1-μήτρα-στήλη, που είναι:

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Red}{x}\\\color {Red}{y}\\\end{bmatrix}}$

where:
x = length, a dimension of Spacey = width, a dimension of Space

β) Ο Μετασχηματισμός της Απειροστής Χωρικής Μεταφοράς
αναπαρίσταται από μία 2x1-μήτρα, που είναι:

${\mathcal {T}}({\color {Red}{l}})={\begin{bmatrix}\color {Red}{l_{x}}\\\color {Red}{l_{y}}\end{bmatrix}}$

T(l) = infinitesimal Space Translation
l = distance of Space Translation

γ) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Δυναμικής
είναι η Ορμή (P)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 2x1-μήτρα, που είναι:

${\vec {P}}={\begin{bmatrix}P_{x}\\P_{y}\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

δ) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Ηλεκτροδυναμικής
είναι η Ρευματική Πυκνότητα (J)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 2x1-μήτρα, που είναι:

${\vec {J}}={\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\end{bmatrix}}$

Προσθήκη λεζάντας

B. Ευκλείδειος Χώρος (Euclidean Space)
Υπενθυμίζουμε ότι ο Ευκλείδειος Χώρος είναι
ένας Αγχίγραμμος Χώρος που είναι επιπλέον εφοδιασμένος
και με τον μετασχηματισμό της Απειροστής Χωρικής Περιστροφής
(infinitesimal Space Rotation transformation)

α) Σε αυτόν ορίζεται, επίσης,
το Συναλλοίωτο (covariant) Διάνυσμα Θέσης
που αναπαρίσταται από μία 1x2-μήτρα-σειρά, που είναι:

${\vec {r}}={\begin{bmatrix}\color {Red}{x}&\color {Red}{y}\end{bmatrix}}$

where:
x = length, a dimension of Space
y = width, a dimension of Space

β) Ο Μετασχηματισμός της Απειροστής Χωρικής Περιστροφής
αναπαρίσταται από μία 2x2-μήτρα, που είναι:

${\mathcal {R}}({\color {Red}{\theta }})={\begin{bmatrix}0&\color {Red}{-\theta }\\\color {Red}{+\theta }&0\\\end{bmatrix}}$

where:
θ = angle of Space Rotation

γ) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Δυναμικής
είναι η Χωρική Στροφορμή (L)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 2x2-μήτρα, που είναι:

${\vec {\boldsymbol {L}}}={\begin{bmatrix}0&+L\\-L&0\\\end{bmatrix}}$

where:
L = component of Angular Momentum

δ) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Ηλεκτροδυναμικής
είναι η Μαγνητική Ένταση (B)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 2x2-μήτρα, που είναι:

${\vec {\boldsymbol {B}}}={\begin{bmatrix}0&-B_{x}\\B_{x}&0\\\end{bmatrix}}$