IonnKorr: Spacetime-Odyssey

Σάββατο 18 Μαΐου 2019

Spacetime-Odyssey - A-05

Spacetime Odyssey
(Οδύσσεια του Χωρόχρονου)

Μονο-διάστατος Χρόνος

---------------------------------------------------------------------------------------------
Εδώ βρίσκουμε τα περιεχόμενα της σειράς: Spacetime-Odyssey

---------------------------------------------------------------------------------------------

Στον Μονο-διάστατο 1D-Χρόνο
δεν υπάρχει διάκριση contravariant και covariant διανυσμάτων.

Το Διάνυσμα Θέσης
αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

$r_{t}={\begin{bmatrix}{\color {Orange}{ct}}\end{bmatrix}}$

where:
x = time, the dimension of Tpace

A. Αγχίγραμμος Χρόνος (Affine Time)

Υπενθυμίζουμε ότι ο Αγχίγραμμος Χρόνος
είναι ένας "Χώρος" που είναι εφοδιασμένος
με τον μετασχηματισμό της Απειροστής Χρονικής Μεταφοράς
(infinitesimal Time Translation transformation)

α) Ο Μετασχηματισμός της Απειροστής Χρονικής Μεταφοράς
αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

${\mathcal {T}}({\color {Orange}{l_{t}}})={\begin{bmatrix}{\color {Orange}{l_{t}}}\end{bmatrix}}$

T(l) = infinitesimal Time Translation
l = infinitesimal distance of Time Translation

β) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Δυναμικής
είναι η Ενέργεια (E)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

$P_{t}={\begin{bmatrix}E/c\\\end{bmatrix}}$

where:

P = Momentum
E = Energy (i.e. its t-component)

γ) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Ηλεκτροδυναμικής
είναι η Φορτιακή Πυκνότητα (Q)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

$J_{t}={\begin{bmatrix}Q/c\\\end{bmatrix}}$

where:
J = Charge Density
Q = Charge Density (i.e. its t-component)

B. Ευκλείδειος Χρόνος (Euclidean Time)
Υπενθυμίζουμε ότι ο Ευκλείδειος Χρόνος είναι
ένας Αγχίγραμμος Χρόνος που είναι, επιπλέον, εφοδιασμένος
και με τον μετασχηματισμό της Απειροστής Χρονικής Περιστροφής
(infinitesimal Time Rotation transformation)

α) Ο Μετασχηματισμός της Απειροστής Χρονικής Περιστροφής (R)
αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

${\mathcal {R}}({\color {orange}\phi })={\begin{bmatrix}{\color {orange}{\mathit {0}}}\\\end{bmatrix}}$

where:
R(φ) = infinitesimal Time Rotation
0 = zeroth infinitesimal angle of Time Rotation

β) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Δυναμικής

είναι η Κεντροβαρική Στροφορμή (N)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

$L_{t}={\begin{bmatrix}{\mathit {0}}\\\end{bmatrix}}$

where:
Lt = time component of Angular Momentum
0 = zeroth MassCenter Position

γ) Το αντίστοιχο αναλλοίωτο Φυσικό Μέγεθος της Κλασσικής Ηλεκτροδυναμικής
είναι η Ηλεκτρική Ένταση (E)
που, επίσης, αναπαρίσταται από μία 1x1-μήτρα-στοιχείο, που είναι:

$B_{t}={\begin{bmatrix}{\mathit {0}}\\\end{bmatrix}}$