Hospital's rule

L'Hospital's rule

(Κανόνας Hospital)

Υπάρχουν εκπληκτικής σπουδαιότητας θεωρήματα στα Μαθηματικά
τα οποία συνήθως οι μαθηματικοί τα αντιμετωπίζουν "μηχανιστικά"
και τα υποβαθμίζουν σε ρόλο "τρυκ"
αλλά
αυτά κρύβουν πίσω τεράστιο φυσικό & φιλοσοφικό περιεχόμενο


---------------------------
Ας δούμε λοιπόν ένα από αυτά.
Ο καθένας γνωρίζει, φαντάζομαι,
ότι
όλα τα Φυσικά Μεγέθη της Φυσικής (όπως π.χ. η μάζα (m) και ο Όγκος (V) )
είναι, αν τα δεις επιστημονικότερα, συναρτήσεις της Θέσης του σώματος
στον Χωρόχρονο (δηλ. στον Χώρο και το Χρόνο)

------------------
Αυτό όμως που πολλοί δεν προσέχουν είναι ότι οι συναρτήσεις π.χ.
f(x), g(x) στο σχήμα που έχουν το προνόμιο
να αναπαριστούν Φυσικά Μεγέθη δεν είναι όποιες και όποιες. Δεν είναι "τυχάρπαστες".
Αντίθετα
είναι "ευπρεπείς" και "ευγενέστατες" δηλ. έχουν ένα πλήθος από ιδιότητες
που οι μαθηματικοί τις αποκαλούν:
συνέχεια, διαφορισιμότητα, λειότητα κλπ κλπ
Με απλά λόγια δεν παρουσιάζουν "παραξενιές" και "ασάφειες"
-------------------------

Όμως
στην Φυσική τα Φυσικά Μεγέθη σχετίζονται μεταξύ τους
Όλοι θα ξέρουν ότι η Πυκνότητα (ρ) ισούται με το πηλίκο
της Μάζας (m) πρoς τον Όγκο (V)
δηλ. ρ = m/V

- Ωραία, θα πεί κάποιος,
και που είναι το πρόβλημα?
Το πρόβλημα είναι ότι κάποιες φορές τυχαίνει
(βλέπε στο αριστερό μέρος του σχήματος)
- η συνάρτηση f(x)
(που ας δεχθούμε ότι αντιστοιχεί στην Μάζα (m))
και
- η συνάρτηση g(x)
(που ας δεχθούμε ότι αντιστοιχεί στον Όγκο (V))
...
να έχουν, ΚΑΙ ΟΙ ΔΥΟ, ταυτόχρονα, σε ένα "ειδικό" σημείο (x = a) του Χωρόχρονου,
την τιμή μηδέν (0)
- Ε... και λοιπόν?

..........
Ε, λοιπόν, αυτό αποτελεί τεράστιο πρόβλημα επειδή
όταν πάμε να βρούμε την Πυκνότητα (ρ) στο "ειδικό" αυτό σημείο (α)
βρισκόμαστε μπροστά στην διαίρεση μηδέν δια μηδέν (0/0)
που είναι απροσδιόριστη
- Ε... και λοιπόν?
.......
Για τους μαθηματικούς, τους φυσικούς και γενικά τους περισσότερους ανθρώπους
αυτό είναι ασήμαντο
- Ωραία, ας είναι σε εκείνο το σημείο απροσδιόριστη Πυκνότητα,
θα πούνε.
Τι μας νοιάζει? Θα σκάσουμε τώρα αν ο Νόμος αυτός της Φυσικής
δεν ισχύει σε κάποιο σημείο του Χωρόχρονου??
....
Εμ ... δεν πάει έτσι.
- Γιατί?
Επειδή, Φυσικός Νόμος, με "τρύπες",δεν είναι Νόμος της Φυσικής.
- Μα γιατί?
Επειδή π.χ. αν ήταν απροσδιόριστη η Πυκνότητα (ρ) στο "ειδικό" σημείο x = α
(π.χ. την εποχή του Χριστού, στην Παλαιστίνη ή κάπου κάποτε στον Σείριο)
τότε
θα μπορούσε να εμφανιστεί ένας προικισμένος ανθρωπόθεος
και εκεί που πχ.
με ένα κιλό αλεύρι φτιάχνεις, ας πούμε, 30 κουλούρια
αυτός με την ίδια ποσότητα αλεύρου θα μπορούσε
(επωφελούμενος από την εκεί υπάρχουσα ασάφεια της Πυκνότητας)
να φτιάξει 30.000 κουλούρια
παραβιάζοντας έτσι, κατάφωρα την Αρχή της Αφθαρσίας της Ύλης. (!)
----------------
Μία λοιπόν τέτοια μαθηματική "ασάφεια"
θα μπορούσε να εισάγει
οποιοδήποτε μεταφυσικό φαινόμενο ή θαύμα
μέσα στην Πραγματικότητα.
------------------------
Εδώ λοιπόν
παρεμβαίνει ο Κανόνας του Hospital και σφραγίζει
αυτήν την τρύπα της Λογικής
----------------
Πως το κάνει αυτό?
Οι μαθηματικοί χρησιμοποιώντας "μηχανιστικά" τον κανόνα αυτόν
θα σου πουν ότι αυτό που κάνει ο κανόνας Hospital
είναι να κάνει μια "κόλληση" ή να βάλει ένα "πώμα", μία "τάπα"
και έτσι να αναιρέσει "με κόλπο" την αοριστία 0/0
του πηλίκου των δύο συναρτήσεων
.......
Όμως δεν έτσι.
Αυτό που κάνει ο Κανόνας Hospital είναι
να πάρει τον Παρατηρητή από την αρχή των αξόνων (Ο) που βρίσκεται
να τον πάει στο "ειδικό" σημείο α
να του δώσει ένα φακό και έτσι .... να "ζουμάρει" (zoom)
στο σημείο της αοριστίας-ασάφειας
(βλέπε στο δεξιό μέρος του σχήματος)
(Αυτή η διαδικασία "ζουμαρίσματος" λέγεται στα Μαθηματικά "Παραγώγιση" )
....
Όταν λοιπόν ο Παρατηρητής κάνει αυτήν την διαδικασία "μεγέθυνσης"
τότε βλέπει ότι ΔΕΝ υπάρχει
καμία αοριστία ή ασάφεια (!!!!)
Βλέπει δηλ. όπως λένε οι μαθηματικοί,
ότι υπάρχει εκεί, φυσιολογικά, ένα "όριο"
δηλ. μία συνηθισμένη τιμή συνάρτησης
όπως όλες οι άλλες.
(αυτό φαίνεται ολοκάθαρα στο σχήμα του 1ου σχολίου)

+++++++++++++++++++++++++++++
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ:
Ο Κανόνας Hospital
δεν είναι ένα "σόφισμα"
που ανακάλυψε
κάποιος μαθηματικός ερευνητής
Αντίθετα
είναι μία "δικλείδα ασφαλείας"
που διαθέτει ο Χωρόχρονος
ώστε
να βάλει φραγμό
στον ανορθολογισμό και την μεταφυσικότητα
που ένας Παρατηρητής
μπορεί να περιπέσει
προσπαθώντας να εξηγήσει ανύπαρκτες ασάφειες
επειδή, απλά,
βρίσκεται σε κακή "οπτική γωνία".
(ή αλλιώς η θέση του και τα εργαλεία του
σκιάζουν κάποιο σημείο της καμπύλης
ωθώντας τον να το θεωρήσει ασαφές)
---
Με απλούστερα λόγια
Ο Κανόνας Hospital δεν είναι "μπάλωμα"
που βάζει ο Παρατηρητής σε "τρύπα" του Χωρόχρονου
αλλά δείχνει ότι η τρύπα δεν ήταν πραγματική
αλλά ...οφθαλμαπάτη του Παρατηρητή
------------------------------------------------
------------------------------------------------
Ήταν μια πολύ απλουστευτική εξήγηση
του Κανόνα Hospital
Στο πρώτο σχόλιο
υπάρχει ένα πολυπλοκότερο σχήμα
που κάποιος
που γνωρίζει περισσότερα μαθηματικά
θα μπορέσει να αποκτήσει
πιο βαθιά κατανόηση
των όσων εδώ αναφέρθηκαν

--------------------------
ΑΝΑΛΥΣΗ:

Λοιπόν
...
Έστω
m = f(x) = sin x
είναι η "καφέ" καμπύλη που απεικονίζει την μεταβαλλόμενη Μάζα (m)
ενός σώματος στο Χωρόχρονο
...
Έστω
V = g(x) = -0,5 x
είναι η "κόκκινη" λοξή ευθεία που απεικονίζει τον μεταβαλλόμενο Όγκο (V)
του σώματος στο Χωρόχρονο
....
Λογικό είναι το πηλίκο τους να είναι η Πυκνότητα (ρ)
που απεικονίζεται από την "μωβ" καμπύλη h(x)
ρ = m/V = f/g
...
Έχουμε λοιπόν
ρ = m/V = f(x) /g(x) = h(x)

==================
Ωραία
Τώρα τι παρατηρούμε?
Κάθε σημείο της Πυκνότητας δηλ της "μωβ" καμπύλης h(x)
προκύπτει από την διαίρεση των αντιστοίχων τιμών
των f(x) και g(x)
Εκτός από ένα !!!!!!
Το σημείο της απροσδιοριστίας: f(0)/g(0)
όπου και οι δύο καμπύλες τέμνονται στην αρχή των αξόνων Ο.
....
Οπότε
από την σκοπιά της Φυσικής
ο παρατηρητής που "βρίσκεται" εκεί δεν μπορεί να δει
το σημείο C που το κρύβει (ας πούμε) η σκιά του.
...................
Ωραία
έρχεται λοιπόν ο κανόνας Hospital και τι λέει?
"Πάρε στο σημείο της απροσδιοριστίας
αντί των συναρτήσεων
τις παραγώγους τους !!!!!"
(Είναι ζουμάρισμα που αναφέρθηκε παραπάνω)
---------------------------
Έχουμε λοιπόν για τις παραγώγους
f'(x) = cos x
που είναι η "γαλάζια" συνημιτοειδής καμπύλη
......
g'(x)
που είναι η "ιώδης" ευθεία
που είναι παράλληλη στον άξονα x
και τέμνει στο 0,5 τον άξονα y
....

Παίρνοντας τώρα το πηλίκο των παραγώγων
f'(0)/g'(0) = -2
βρίσκουμε το σημείο C στην "μωβ" καμπύλη
h(x) = f(x)/g(x) !!!
----------------------
Το συμπέρασμα
Η μωβ καμπύλη h(x) υπάρχει ολόκληρη
(χωρίς ασυνέχειες)
έχει και αυτή όλες τις "καλές" ιδιότητες
που έχουν οι γονείς της f(x) και g(x)
ώστε να αντιπροσωπεύει επάξια
ένα φυσικό μέγεθος (δηλ. την Πυκνότητα)
και το όριο -2 στο σημείο C
δεν μπήκε σαν "τάπα" για να βουλώσει την "ασυνέχειά" της
(όπως θα φανταζόταν ενδεχομένως ένας μαθηματικός)
αλλά
υπήρχε ήδη στην καμπύλη !!!!!!!!!!!!!!
(απλά ήταν κρυμένο, από την αρχική διαδικασία διαιρέσεων)
Οπότε, απλά,
ο κανόνας του Hospital το έκανε εμφανές